Octadic surfaces and plane quartic curves. (Q567555)

Verf. knüpft an die von \textit{O. Hesse} (J. f. M. 49 (1855), 279-332; Gesammelte Werke (1897; F. d. M. 28, 17 (JFM 28.0017.*)), S. 345) aufgefundene (1,1)-Korrespondenz zwischen einer allgemeinen ebenen Quartik \(\delta \) und derfenigen Sextik \(\vartheta \) an (\textit{Hesse}-Sextik), die als Ort der Spitzen derfenigen Kegel aufgefaßt werden kann, die zu einem Netz von Flächen zweiter Ordnung gehören. 1. Es werden zuerst die verschiedenen Systeme von Berührungs-Kegeslchnitten und -Kubiken von \(\delta \) beschrieben, sodann analytisch das Flächennetz \(N\) mit den acht Basispunkten eingeführt und gewisse ausgezeichnete Ebenen \(\bar {\omega }\) gewonnen, die in einem Punkt \(P\) von \(\delta \) von \textit{allen} durch \(P\) gehenden und \(N\) angehörenden Quadriken berührt werden (die den Punkten von \(\delta \) ``assoziierten'' Ebenen). - 2. Die Einführung des kubischen Komplexes, den die Erzeugenden der Quadriken bilden, erlaubt, zu zeigen, daß es nur 24 Punkte von \(\delta \) gibt, in denen Quadriken aus \(N\) stationäre Berührung haben, und daß dieselben von der Art sind, daß die Tangente von \(\delta \) in \(\bar {\omega }\) liegt. - 3. Die analytische Darstellung der Quadriken von \(N\) durch die Punkte einer Ebene führt zu Flächen, die in den acht Basispunkten Knoten haben und nach \textit{Cayley} ``oktadische'' Flächen heißen. Über sie werden eine Reihe von Sätzen abgeleitet: a) Verf. zeigt durch geeignete Anwendung der Korresppondenz zwischen den Flächen von \(N\) und den \(\delta \) berührenden Kegelschnitten, daß eine oktadische Fläche einen, zwei, drei oder vier weitere Knoten haben kann, und daß insbesondere diejenigen Flächen, die vier weitere Knoten besitzen, in 63 Systeme zerfallen (vgl. \textit{Kummer}, Abhandlungen Akad. Berlin 1866, 100-101). - b) Die Korrespondenz zwischen Kegelschnitten und oktadischen Flächen wird dann mit den Systemen von je sechs Bitangenten von \(\delta \), die einen Kegelschnitt berühren, in Verbindung gebracht (Bitangenten in \textit{Brianchon}-Lage). - c) Es werden die Trisekanten von \(\delta \) betrachtet und ihr Konjugiertsein zu Punkten von \(\delta \) definiert, ferner die Existenz einer oktadischen Fläche aufgewiesen, die die drei Schnittpunkte \(S_i(i=1, 2, 3)\) von \(\delta \) mit irgendeiner ihrer trisekanten zu Knotten hat. Es gibt außerdem \(\infty ^1 \delta \) in den \(S_i\) berührende Kubiken. Die Betrachtung derjenigen Trisekanten von \(\delta \), die auch Erzeugende des Netzes von Quadriken sind, führt zu dem Ergebnis, daß es nur acht Systeme von Trisekanten von \(\delta \) gibt, die zu je dreien in einer Ebene liegen. Sie bilden je ein Dreieck, und es gibt 288 Dreiecke, die \(\delta \) sowohl ein- als auch umbeschrieben sind. 4. Die \textit{Hesse}sche Sextik vom Geschlect 3, die \textit{Schur}schen Sextiken \( \mathfrak S~\) (1881; F. d. M. 13, 460 (JFM 13.0460.*)) und die \textit{Reye}-Sextik \(\Re \) (Geometrie der Lage 3 (5. Aufl. 1925), Vortr. 15/16) werden in den Zusammenhang der Arbeit eingeführt und ihre Eigenschaften gewonnen. Dabei ergibt sich, daß Sextiken nur dann in berationale Korresppondenz mit einer allgemeinen ebenen Quartik treten können, wenn die Quartik die Eigenschaft hat, daß sich ihr unendlich viele Pentagramme einbeschreiben lassen, deren Seiten einen Kegelschnitt berühren. (Vgl. \textit{Lüroth}, 1869-70; F. d. M. 2, 511 (JFM 02.0511.*).) Die Arbeit schließt mit einer abrißartigen Behandlung des \textit{Cayley}schen Problems der Auffindung der Zahl von Dreiecken, die einer ebenen algebraischen Kurve zugleich ein- und umbeschrieben sind (1871; F. d. M. 3, 297 (JFM 03.0297.*)).