Sulla connessione e sui numeri base delle superficie algebriche reali. (Q567600)

Besteht eine reelle algebraische Fläche \(F\) aus \(m\) Mänteln, deren jeder die totale Zusammenhangszahl \(Z_i\) hat, so heißt \(Z= \sum Z_i - 2m + 2\) die totale Zusammenhangszahl von \(F\). Dabei ist \(Z_i\) gleich der zugehörigen \textit{Betti}schen Zahl \(R_1\) (mod 2). Ist \(R_2\) die zweite \textit{Betti}sche Zahl der \textit{Riemann}schen Mannigfaltigkeit \(V\) von \(F\), und sind \(h, k\) die Anzahlen der linear-unabhängigen reellen bzw. rein imaginären zweidimensionalen Zykeln auf \(V\), so hat Verf. schon 1928 (F. d. M. 54, 606 (JFM 54.0606.*)) bewiesen, daß \[ Z=R_2 - 2h \quad (h+k=R_2) \leqno (1) \] ist. Sind \(\varrho, \bar {\varrho } \) die komplexe bzw. reelle Basiszahl von \(F\), so ist \(h\geqq \varrho - \bar {\varrho }\). Führt man nun die reellen Doppelintegrale erster Gattung von \(F\) ein, deren es ja mindestens \(p_g\) unabhängige gibt, so ist \(\tau = h - (\varrho - \bar {\varrho })\) die Zahl ihrer unabhängigen reellen und \(\tau ^\prime = R_2 - \varrho - \tau = R_2 - h - \bar {\varrho }\) die ihrer unabhängigen imaginären Perioden. Nun folgt aus einer Bemerkung von \textit{Severi} (s. das übernächste Referat) \(\tau \geqq p_g\) und \(\tau ^\prime \geqq p_g\), so daß die Ungleichung \[ 2 (\bar {\varrho } + p_g) - R_2 \leqq Z \leqq R_2 - 2(\varrho - \bar {\varrho }) - 2p_g \leqno (2) \] folgt. Beide Gleichheitszeichen gelten dann und nur dann, wenn die Zahl der Doppelintegrale erster Gattung gleich der Hälfte der Anzahl der zugehörigen Perioden ist: \(R_2 - \varrho = 2p_g\). Dann gibt (2): \[ m \geqq \frac {\varrho }{2} - \bar {\varrho } + 1, \] so daß, wenn \(\varrho > 2 \bar {\varrho } - 2\) ist, die Fläche mindestens einen Mantel vom Zusammenhang der Kugel oder der projektiven Ebene hat; ist \(\varrho < 2 \bar {\varrho } - 2\), so hat mindestens ein Mantel die Zusammenhangszahl \(>2\). Als Anwendungsbeispiel von (2) und der vorangehenden Beziehungen behandelt Verf. die Fläche der Punktepaare zweier reeller Kurven \(C, C^\prime \) vom Geschlecht \(p, p^\prime \). Für diese ist \(Z=2\), und die genaue Untersuchung der Zyklen ergibt \[ 2 \leqq \varrho \leqq 2pp^\prime + 2, \quad 2\leqq \bar {\varrho } \leqq pp^\prime + 2, \quad \varrho - \bar {\varrho } \leqq pp^\prime. \] Betrachtet man die Fläche der nichtgeordneten Punktepaare einer reellen Kurve \(C\), so ist \(Z=p+1\) und \[ 2 \leqq \varrho \leqq p^2+1, \quad 2\leqq \bar {\varrho } \leqq \frac {1}{2} p (p+1) + 1, \quad \varrho - \bar {\varrho } \leqq \frac {1}{2} p (p-1). \] Für \(p=2\) erhält man so eine \textit{Jacobi}sche Fläche; wenn man sie von der ausgezeichneten Kurve befreit, erfält man die möglichen Werte von \(\varrho, \bar {\varrho }\) die mit den von \textit{Lefschelz} Proceedings USA Academy 5 (1919), 296-298) angegebenen der \textit{Picard}schen Flächen übereinstimmen. Während in diesen Beispielen die Charaktere \(\tau, \tau ^\prime \) direkt bestimmbar waren, ist dies bei den acht Typen der reellen \textit{Kummer}schen Fläche nicht der Fall. Hier ist \[ Z= 2\bar {\varrho } - 2 \tau - 12, \quad \tau ^\prime = 5 - \tau. \] \(Z\) und \(\bar {\varrho }\) sind bestimmbar, und man findet für alle Typen, bis auf einem, \(\tau = 2, \tau ^\prime = 3\), während die Fläche, deren einzige reelle Punkte vier Doppelpunkte sind, auf \(\tau = 4, \tau ^\prime = 1\) führt.