Sur certaines involutions du sixième ordre appartenant à une surface de genres un. (Q567610)

Es sei eine algebraische Fläche \(F\) mit \(p_a = p_g = P_2 = P_4 = 1\) gegeben; sie soll eine zyklische Tranformation \(T\) der Odnung 3 in sich mit nur endlichvielen Deckpunkten und eine rationale Involution \(\theta \) der Ordnung 2 gestatten; ferner sei \(T\theta = \theta T^2\). Kann es dann auf \(F\) ein von Basispunkten freies Linearsystem geben, das mittels \(T\) und \(\theta \) zusammengesetzt ist und das nicht gleichzeitig einem umfassenderen, nur mittels einer dieser Involutionen gebildeten Linearsystem angehört? Die Frage ist zu bejahen; das fragliche Linearsystem muß den Grad 6 das Geschlecht 4 und die Dimension 2 besitzen. Ein Beispiel bildet eine bestimmte \(F_6\) des \(S_4\), vollständiger Schnitt einer quadratischen und kubischen Form, die äquivalent einer Doppelebene mit einer Übergangskurve sechster Ordnung mit sechs Rückkehrpunkten ist.