On the Kummer surface. (Q567617)

Die zu der hyperelliptischen Kurve \(H\): \[ s^2=r^5+ ar^4 + br^3 + cr^2 + r \] gehörige \textit{Kummer}sche Fläche wird explizit aufgestellt. Sind \((\alpha _1, \varrho _1)\) und \((\alpha _2, \varrho _2)\) zwei Punkte von \(H\), und setzt man \[ \frac {x}{t} = \alpha _1 + \alpha _2, \quad \frac {y}{t} = \alpha _1 \alpha _2, \quad \frac {z}{t} = \frac {2F(\alpha _1, \alpha _2) - 2\varrho _1 \varrho _2}{(\alpha _1 - \alpha _2)^2} \] mit der Abkürzung \[ 2F (\alpha _1, \alpha _2) = \alpha ^2_1, \alpha ^2_2(\alpha _1 + \alpha _2) + 2a\alpha ^2_1 \alpha ^2_2 + b \alpha _1 \alpha _2 (\alpha _1 + \alpha _2) + 2c\alpha _1 \alpha _2 + \alpha _1 + \alpha _2, \] so ist \[ Y^2 - 4XZ = 0 \] die Gleichung der \textit{Kummer}schen Fläche, wenn \[ X= ayt + xy + zt, \quad Y= byt - y^2 - t^2 - xz, \quad Z= cyt + yz + xt \] gesetzt wird. Die sechzehn Doppelpunkte und die sechzehn Doppelebenen und ihre Inzidenzen werden angegeben. An dem Beispiel \[ s^2 = r^5 - \frac {3}{2} r^4 - 2r^3 + \frac {3}{2} r^2 + r, \] das typisch ist für den Fall von sechs reellen Verzweigungspunkten des hyperelliptischen Gebildes, wird ie Lage der reellen Mäntel der \textit{Kummer}schen Fläche - in diesem Falle acht - sowie ihr Beziehung zu den Doppelpunkten und -ebenen genau auseinandergesetzt.