Sur la figure formée par une quadrique et deux droites. (Q567622)

1. Es seien \(q\) eine bizirkulare Quartik. \(F\) einer ihrer Brennpunkte, \(I\) und \(J\) die zyklischen Punkte. \(F, \lambda _1, \mu _1, \nu _1\) seien ferner die vier Brennpunkte auf \(FI; F, \lambda _2, \mu _2, \nu _2\) die auf \(FJ\). \(FI\) berühre \(q\) in \(\alpha _1, FJ\) berühre \(q\) in \(\alpha _2\). - Diese Figur wird durch Inversion transformiert, wobei \(q\) in eine bizirkulare Quartik \(\bar {q}\) übergeht. Dabei bleiben eine Reihe von Doppelverhältnissen der obigen Paare von je vier Punkten ungeändert. Daraus folgt dann, daß es zwei Projektionen einer räumlichen biquadratischen Kurve gibt, die zwei Quartiken mit zwei Doppelpunkten sind, die dieselben Doppelverhältnisee haben. 2. Ist \(q\) eine Quadrik, und sind \(\Delta _1, \Delta _2\) zwei Geraden, so erzeugen alle Geraden, die\(q\) berühren und sich auf \(\Delta _1, \Delta _2\) stützen, eine Fläche, die \(q\) nach einer räumlichen biquadratischen Kurve \(\Gamma \) umbeschrieben ist; \(\Delta _1\) und \(\Delta _2\) sind Doppelsekanten von \(\Gamma \). Die Fläche wird von einer beliebigen Ebene in einer Quartik mit zwei Doppelpunkten geschnitten. Die dabei auftretenden Doppelverhältnisse der beiden Geraden und der Quadrik bleiben bei Inversion ungeändert, wenn \(\Delta _1\) und \(\Delta _2\) isotrope Geraden sind und \(q\) eine Kugel.