Die Geometrie der linearen Strahlenkongruenz und ihre Gerade-Kugel-Transformation. (Q567633)

In vorliegender Arbeit behandelt Verf. in Abschnitt I mit \textit{analytischen} Hilfsmitteln die Geometrie der linearen Strahlenkongruenz, insbesondere ihre kürzlich von \textit{S. Jolles synthetisch} entwickelte Polarentheorie (vgl. \textit{S. Jolles} 1927, 1931; F. d. M. 53, 634 (JFM 53.0634.*); 57\(_{\text I}\), 805). Dabei werden die reellen oder konjugiert imaginären Leitgeraden \(g, r\) der gegebenen linearen Strahlenkongruenz \(C^q_r\) als das eine Paar Gegenkanten des Koordinatentetraeders angesehen, etwa \(q\) als die Kante \(x_1 = x_2 = 0\) und \(r\) als \(x_3 = x_4 = 0\), do daß sich die lineare Kongruenz \(C^q_r\) bei Verwendung homogener Linienkoordinaten \(p_{ik}\) als Durchschnitt der beiden Komplexe \(p_{12} = 0, p_{34} = 0\) darstellt und alle Kongruenzstrahlen der Gleichung \[ p_{13} p_{42} + p_{14} p_{23} = 0 \leqno (*) \] genügen. Deutet man jetzt (*) punktgeometrisch als Fläche zweiter Ordnung, so ist damit die Geometrie der linearen Strahlenkongruenz auf die Punktgeometrie von Flächen zweiter Ordnung zurückgeführt und der Zugang insbesondere zur Polarentheorie offen. In Abschnitt II wird eine Abbildung der linearen Strahlenkongruenz auf die Ebene geometrisch begründet und dabei ihr Polarentheorie auf Fundamentaltheoreme der Kreisgeometrie zurückgeführt, die Theorie der in der Kongruenz enthaltenen Regelscharen auf diejenige ebener Kurven. Es handelt sich um die Transformation \[ p_{13} = p_1 + ip_2, \quad p_{42} = p_1 - ip_2, \quad p_{14} = p_3 + p_4, \] \[ p_{23} = p_3 - p_4, \quad p_{12} = p_5 + ip_6, \quad p_{34} = p_5 - ip_6, \] vermöge welcher (*) in \[ p^2_1 + p^2_2 + p^2_3 - p^2_4 = 0 \] übergeht, so daß für rechtwinklige cartesische Koordinaten \[ \xi = \frac {p_1}{p_4}, \quad \eta = \frac {p_2}{p_4}, \quad \zeta = \frac {p_3}{p_4} \] \(C^q_r\) auf die Eingeitskugel abgebildet erscheint. Jedem Kongrunzstrahl entspricht dabei ein Kugelpunkt, jeder Regelschar zweiter Ordnung ein Kugelkreis bzw. im Zerfall zwei konjugiert imaginäre Kugelstrahlen. Schließlich erhält man durch stereographische Projektion die eineindeutige Abbildung der linearen Kongruenz auf die Zahlenebene: \[ x=-\frac {p_{13} + p_{42}}{p_{23}}, \quad y= \frac {i (p_{13} - p_{42})}{p_{23}}, \quad \varrho p_{13} = 2(x+iy), \] \[ \varrho p_{42}=2(x-iy), \quad \varrho p_{14} = x^2 + y^2, \quad \varrho p_{23} = - 4. \] Dabei gilt der wichtige Satz: Die \(\infty ^1\) Berührungskreise einer ebenen Kurve in einem Punkt \(P\) sind die Bilder der \(\infty ^1\) einscharig in der linearen Kongruenz enthaltenen Regelflächen zweiter Ordnung, welche die zur Kurve gehörige Regelfläche längs des entsprechenden Kongruenzstrahles \(p\) berühren. Der Krümmungskreis der Kurve in \(P\) ist das Bild des längs \(p\) oskulierenden Hyperboloides. Zwei einander längs eines Kongruenzstrahles berührende Regelflächen gehen in zwei einander in einem Punkt berührende Kurven der Bildebene über. Im Abschnitt III wird gezeigt, wie vermöge einer affinen Dehnung die Einheitskugel in ein Rotationsellipsoid verwandelt werden kann derart, daß die Mittelpunkte aller Kugeln, welche die Leitkugeln \(K_1, K_2\) um die Brennpunkte des Ellipsoides gleichsinnig berühren, auf dem Ellipsoid liegen, wobei die Radien \(r_1\) und \(r_2\) der Leitkugeln den Bedingungen \(r_2 - r_1 = 2a, r_2 > r_1 > 0, \varepsilon = \pm \sqrt {a^2-1}\) genügen (\(\pm \varepsilon \) Brennpunktabstände auf der \(\zeta \) Achse). Damit werden die Punkte der Zahlenebene durch stereographische Projektion und darauffolgende Affinität eineindeutig auf die Kugeln der Kongruenz \([K_1, K_2]\) abgebildet. Beide Abbildungen schließen sich zur Geraden-Kugelabbildung der linearen Strahlenkongruenz \(C^q_r\) auf die Kugelkongruenz \([K_1, K_2]\). Dabei gewinnt Verf. in anschaulicher Weise eine Reihe bemerkenswerter Eigenschaften der geschilderten Abbildung, insbesondere \textit{Lies} berühmten Satz: Die Geraden-Kugel-Abbildung verwandelt Haupttangentenkurven und Hauptkrümmungskurven in einander. (V 5 A, D.)