Note on the trisecants and quadrisecants of a space curve. (Q567645)

Ist \(C^n_p\) eine Kurve \(n\)-ter Ordnung und vom Geschlecht \(p\) im \(R_3\), dann beweist man gewöhnlich mit abzählenden Methoden die folgenden Formeln (\textit{Enriques, Chisini,} Lezioni sulla teoria geometrica delle equazioni e delle funzioni algebriche. Vol III (1924; F. d. M. 51, 508 (JFM 51.0508.*)); p. 472, 476): 1) Die Ordnung der durch die Trisekanten der Kurve gebildeten Regelfläche ist \[ 2 { {n-1} \choose 3} - (n-2) p; \] 2) die Anzahl der Quadrisekanten ist gegeben durch \[ \frac {1}{2} (n-3) { {n-2} \choose 3 } - { {n-3} \choose 2 } p + {p \choose 2}. \] Beide Formeln versagen, wenn die \(C^n_p\) einen Punkt höheren als zweiter Multiplizität besitzt. Die Note zeigt, daß für den Fall, daß die \(C^n_p\) einen Punkt der Multiplizität \(r\) mit \(r\) verschiedenen Tangenten besitzt, von denen keine drei in einer Ebene liegen, die beiden Formeln sich bezüglich folgermaßen ändern: \[ \frac {1}{3} \left ( \frac {r}{2} \right ) (3n - r - 4), \leqno (1) \] \[ \left ( \frac {r}{2} \right ) \left \{ \frac {1}{6} (n-3) (3n - 2r - 8) - p \right \}. \leqno (2) \]