Reelle Fragen in der algebraischen Geometrie. (Q567658)

Die Arbeit gibt Übersicht über die hauptsächlich vom Verf. erlangten Ergebnisse über die reelle Geometrie von algebraischen Flächen. Im projektiven komplexen \(S_n\) heißt eine Fläche \(F_0\) reell, wenn sie druch di \(K\)-Transformation: \(x_i \to \bar {x}_i (i=0, \dots, n)\) in sich übergeht; zwei reelle Flächen gehören zur selben reellen Klasse \(\Omega \), d. h. sind reell-birational äquivalent, wenn die birationale Verwandtschaft die \(K\)-Transformationen der beiden Flächen miteinander vertauscht. Insbesondere geißt eine birationale Abbildung der Form \(\varrho. x^\prime _i = \varphi _i (\bar {x}_0, \dots, \bar {x}_n)\) eine antibirationale Abbildung und, wenn sie involutorisch ist, eine Symmetrie. Besonders weitgehende Ergebnisse sind über die reelle Klasseneinteilung der rationalen Flächen wie der reellen \textit{Abel}schen Mannigfaligkeiten vorhanden, über die Verf. ausführlich berichtet. Für die rationalen Flächen gelingt die Klassifikation aller möglichen Symmetrien; zu jeder Klasse \(\Omega \) gehört ein Mindestwert der \textit{Zeuthen-Segre}schen Invariante \(I\), der mit der Zahl der reellen Mäntel, die eine Invariante der Klasse ist, zusammenhängt; durch \(I\) wird auch die totale Zusammenhangszahl \(Z\), d. h. die \textit{Betti}sche Zahl vom Index 1 (mod 2) beschränkt. Für die Symmetrien auf einer reellen \textit{Abel}schen \(V_p\) ist eine einfache Normalform angebbar; zu jeder solchen gehört ein arithmetischer Charakter \(\gamma \), der sich in der Zahl \(2^{p-\gamma }\) der reellen Mäntel einer nicht nullteiligen \(V_p\) widerspiegelt; ist \(V_p\) speziell die \textit{Jacobi}sche Mannigfaltigkeit einer nicht nullteiligen reellen Kurve \(C\), so ist die Zahl der Züge von \(C p + 1 - \gamma \) Weitere Aufklärungen für allgemeine reelle Flächen bringt das topologische Studium ihrer \textit{Riemann}schen Mannigfaligkeit \(W\) der durch eine Symmetrie einander zugeorneten Punktepaare. Insbesondere ergibt sich die Abschätzung \[ Z \leqq \varrho _0 + 2\bar {\varrho } - \varrho \] für den totalen Zusammenhang, worin \(\varrho, \bar {\varrho }\) komplexe und reelle Basiszahl der Kurven auf \(F_0, \varrho _0\) die Anzahl der Doppelintegrale zweiter Gattung bezeichnen. Die Arbeit enthält noch viele weitere Einzelergebnisse.