On certain characteristics of \(k\)-dimensional varities in \(r\)-space. (Q567660)

Eine algebraische Mannigfaltigkeit \(V_k\) in einem \(S_{2k+1}\) oder einem höheren Raume besitzt außer der Ordnung noch eine Reihe weiterer Charakteristiken; projiziert man \(V_k\) von einem allgemeinen \(S_{t-1}(0 \leqq t \leqq k)\) auf einen \(S_{2k+1-t^\prime }\), so besitzt die Projektion \(V^{(t)}_k\) eine Doppelmannigfaltigkeit der Dimension \(t-1\) und Ordnung \(b_{t-1}\) und auf dieser eine Zwickmannigfaltigkeit der Dimension \(t-2\) und Ordnung \(j_{t-2}\); die Zahlen \(b_0, \dots, b_{k-1}\) und \(j_0, \dots, j_{k-1}\) sind die neuen Charaktere. Verf. bestimmte sie explizit für diejenigen \(V_{k^\prime }\) die vollständiger Schnitt von \(r-k\) Hyperflächen der Ordnungen \(n_1, \dots, n_{r-k}\) im \(S_r\) sind; die angewandte Methode ist die der völligen Ausartung in Hyperebenen. Die Betrachtungen werden an einer \(V_3\) des \(S_7\) durchgeführt und dann verallgemeinert. Zwischen den \(b\) und \(j\) ergeben sich beiläufig folgende merkwürdige Relationen: \[ 2b_{k-q} = j_{k-q-1} + 2b_{k-q-1}= \dots = j_{k-q-1} + \dots + j_0 + 2b_0, \] \[ n(n-1) = j_{k-1} + j_{k-2} + \dots + j_0 + 2b_0. \]