Extension of a theorem of C. G. F. James. (Q567677)

Im projektiven \(n\)-dimensionalen Raum \(R_n\) sei \(C^n\) die rationale Normalkurve \[ x_0 : x_1 : \dots : x_n = \vartheta ^n : \vartheta ^{n-1} : \dots : \vartheta : 1. \] Ein linearer \(R_k\) heißt Sekanten-\(R_k\) der \(C^n\), wenn er mit \(C^n\) wenigstens \(k+1\) Punkte gemein hat. Bildet man die \(\infty ^{(n-k)(k+1)}\) linearen \(R_k\) des \(R_n\) mit Hilfe ihrer projektiven Punktkoordinaten \textit{Grassmann}sche Koordinaten) auf die Punkte eines \(R_N\), \[ N= { {n+1} \choose {k+1} } -1, \] ab, dann erhält man eine rationale Mannigfaltigkeit \(V_{(n-k)(k+1)}\) im \(R_N\). Über die \(\infty ^{k+1}\) Sekanten-\(R_k\) der \(C^n\) hat \textit{L. M. Brown} (1930; F. d. M. 56 I, 571) den Satz bewiesen, daß ihrre Bilder im \(R_N\) eine rationale Mannigfaltigkeit \(V^{(n-k)^{k+1} }_{k+1}\) auf der \(V_{(n-k)(k+1)}\) bilden. Einfachster Fall: Die Sehnen einer Faumkurve \(C^3\) im \(R_3\) geben die Fläche von \textit{Veronesse} im \(R_5\). Hier wird eer Satz von \textit{Brown} kurz analytisch bewiesen und die dabei gabrauchte Methode verwendet für einen Satz von \textit{James} (1923; F. d. M. 49, 492 (JFM 49.0492.*)) über Paare von rationalen \(C^4\) im \(R_4\). Von diesem Satze wird eine Verallgemeinerung auf zwei rationale Normkurven \(C^{2n}\) im \(R_{2n}\) mit \(2n+2\) gemeinsamen Punkten gegeben, wobei der Fall \(n=2\) noch besonders behandelt erscheint.