Plane congruences of the second order in space of four dimensions and fifth incidence theorems. (Q567681)

Unter ``Fünferinzidenzsätzen'' werden Aussagen wie die beiden folgenden verstanden: 1) Die Ebenen, die vier gegebene Geraden des \(R_4\) treffen, treffen noch eine fünfte, durch die vier gegebenen bestimmte Gerade (s. \textit{Segre}, 1888; F. d. M. 20, 666 (JFM 20.0666.*)); 2) Die Trisekantenebenen einer rationalen Quartik in \(R_4\), die eine Gerade treffen, treffen eine zweite rationale Quartik (s. \textit{James}, 1923; F. d. M. 49, 492 (JFM 49.0492.*) und \textit{Pieri}, 1890; F. d. M. 22, 682 (JFM 22.0682.*)). \textit{Segre} hat zum Beweis solcher Theoreme Ebenenkongruenzen zweiter Ordnung verwendet und eine Methode für die Klassifikation dieser Kongruenzen entwickelt. Mit diesen Hilfsmitteln leitet Verf. in dieser Arbeit alle bekannten ``Fünferinzidenzsätze'' und einege neue her. Am Schluß zeigt Verf., wie man diese Gruppe von Sätzen aus den Eigenschaften der Quadrikensystems durch eine kanonische Kurve vom Geschlecht 5 (s. vorstehendes Referat) gewinnen kann, was zu neuen ``Fünferinzidenzsätzen'' führt, die mit den folgenden Kongruenzen nicht in Zusammenhang stehen. An Ebenenkongruenzen zweiter Ordnung werden dabei die Typen \[ (2,6)_1, (2,6)_2, (2,5), (2,4), (2,3) \] erhalten.