On \(n\)-webs of curves in a plane. (Q567719)

Beweis des Satzes: Der Rang eines ebenen Kurven-\(n\)-Gewebes \[ t_i(x,y)=\text{const}\qquad (i=1,\dots,n), \] d. h. die Höchstzahl von linear unabhängigen Relationen \[ \sum _{i=1}^n u_{ik}(t_i)=0\qquad (k=1,\dots,m), \] die bei einem solchen Gewebe bestehen können, ist \(N=\frac 12(n-1)(n-2)\). Zum Beweis betrachtet Verf. die \(u_{ik}(t_i)\) als die Koordinaten eines Punktes, der in einem affinen \(m\)-dimensionalen Raum eine Kurve beschreibt. Es ist zu zeigen, daß die Kurven \(p_i(t_i)\) alle in parallelen linearen Unterräumen von der Dimension \(N\) liegen. Das wird am Beispiel \(n=5\), \(N=6\) explizite durchgeführt durch den Nachweis, daß unter den Vektoren \(p_i'= \frac d{dt_i} p_i(t_i)\), \(p_i''(t_i)\) usw. höchstens \(N\) linear unabhängige vorhanden sind. Als Zusatz ergibt sich im Falle \(n=4\): Wenn eine zweidimensionale Fläche mit \(R_k\) auf zwei Arten als Translationsfläche erzeugt werden kann, so liegt sie in einem dreidimensionalen Unterraum.