Quadrilateral 4-webs of curves in a plane. (Q567720)

Wann gilt für ein Kurven-4-Gewebe \(u_i(x,y)=\text{const}\) \((i=1,\dots,4)\) in der Ebene eine Identität der Form \(\sum _{i=1}^4 u_i(x,y)=0\)? Folgendes geometrische Kennzeichen ist damit äquivalent: Es gibt zwei weitere Kurvenscharen I, II, so daß jedes Vierseit aus Kurven des gegebenen Gewebes mit einer ``Diagonalen'' aus I auch eine Diagonale aus II enthält. Zudem gibt es eine Kurvenschar III, die mit I und II zusammen ein 3-Gewebe bildet, das zum ursprünglichen 4-Gewebe ``diagonal'' ist, d. h. jedes Vierseit aus Kurven des 4-Gewebes mit einer Diagonalen aus dem 3-Gewebe enthält zwei weitere Diagonalen aus dem 3-Gewebe.