Sur les transformations asymptotiques des courbes minima. (Q567731)

Für die isotrope Kurve \(\mathfrak x(u)\) läßt sich nach \textit{Cartan} die Pseudobogenlänge \(\sigma \) \[ d\sigma ^2 = i \frac {(\dot {\mathfrak x},\ddot {\mathfrak x},\dddot {\mathfrak x})} {\ddot {\mathfrak x}^2}du^2\qquad \left (\text{\(\cdot \) bedeutet }\frac d{du}\right ) \] und damit ein natürliches Dreibein \(\vartheta,\nu,\beta \) und eine Krümmung \(k\) einführen. Bei ``asymptotischer Transformation'' \(\mathfrak x_1=\mathfrak x +l(u\vartheta +\nu )\), wobei \(u\) Lösung von \[ \frac {du}{d\sigma } - \frac {u^2}2+k+\frac 1l=0 \] ist, bleibt die Pseudobogenlänge erhalten. Infolgedessen läßt sich die Krümmung und das Dreibein der Kurve \(\mathfrak x\) leicht berechnen, desgleichen die Schraubung, die das Dreibein von \(\mathfrak x\) in das von \(\mathfrak x_1\) überführt.