Schnitte, Umrisse und Schatten der Flächen einer Flächenfamilie. (Q567740)

Unter einer Flächenfamilie wird der Inbegriff aller Integralflächen einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung \(F(x,y,z,p,q)=0\) verstanden; \(p\) und \(q\) sind die Ableitungen von \(z\) nach \(x\) und \(y\). Nach einem Hinweis auf zwei von \textit{Lie} herrührende Abbildungen aller Integralgebilde (ihr Begriff ist weiter als der der Integralflächen) als Vereine von Linienelementen einer Ebene wird der Satz gewonnen: ``Schneidet man alle Flächen einer Flächenfamilie mit einer Fläche \(T_1\), projiziert man sie ferner von einem Zentrum \(O\) aus auf eine Fläche \(T_2\) und läßt man sie schließlich vermöge Bestrahlung von einer Lichtquelle \(L\) aus Schatten auf eine Fläche \(T_3\) werfen, so liefert jede Integralfläche auf \(T_1\) eine Schnittkurve \(k_1\), ferner auf \(T_2\) einen Projektionsumriß \(k_2\) und schließlich auf \(T_3\) einen Schattenumriß \(k_3\). Dann gibt es zwischen den Linienelementen von je zweien der Flächen \(T_1,T_2,T_3\) eine Berührungstransformation derart, daß vermöge ihrer einander entsprechende Kurven \(k_1,k_2,k_3\) ineinander übergehen.'' (IV 8, 12.)