Transformation d'une famille simplement infinie de géodésiques et de la famille de courbes conjugées. (Q567767)

Projiziert man die Transformationsgleichungen der Inversion des euklidischen vierdimensionalen Raumes ``isotrop'' in den gewöhnlichen dreidimensionalen Raum und behandelt daselbst die Fläche \((\sigma )\) mit diesen Transformationen, so entsteht eine zweite Fläche \((\Sigma )\), deren Parameterkurven \(u={}\)const wiederum geodätisch sind, wenn sie es auf \((\sigma )\) sind. Ferner bleibt eine spezielle orthogonale Trajektorie des geodätischen Feldes als solche erhalten. Werden ferner die Kurven \(v={}\)const auf \((\sigma )\) als \textit{Dupin}sche Konjugierte zu den Geodätischen \(u={}\)const gewählt, so ergeben sich (in diesen Parametern und Koordinaten) unmittelbar sechs partikuläre Integrale der \textit{Laplace}schen Gleichung \[ E(\Theta )\equiv \frac {\partial ^2\Theta }{\partial u\partial v} -\alpha \frac {\partial \Theta }{\partial u} -\beta \frac {\partial \Theta }{\partial v}=0 \] in der Form: \(1\), \(x\), \(y\), \(z\), \(\varrho \), \(x^2+y^2+z^2-\varrho ^2\) (\(\varrho \) bedeutet den geodätischen Bogen auf \((\sigma )\)). Umgekehrt kann man wiederum aus der Existenz sechs solcher Lösungen die entsprechenden geometrischen Schlüße für die Flächen \((\sigma )\) bzw. \((\Sigma )\) ziehen. Die erhaltenen Resultate werden von besonderem Interesse, wenn es sich um geschlossene geodätische Linien handelt.