Sur la représentation sphérique des congruences. (Q567777)

Zu einer Kurvenkongruenz \((a)\) gehört unmittelbar das Feld der Einheitstangentenvektoren ihrer Kurven, ein Strahlsystem, bezogen auf Parameter \(\lambda,\mu \). Betrachtet man diese Vektoren koinitial, so erhält man die Punkte der Einheitskugel \((\Sigma )\) als sphärische Abbildung der Kongruenz. Betrachtet man gleichzeitig ein Isoklinenfeld \((e)\) (Trajektorien von \((a)\)), so werden Deformationen von \((a)\) von besonderem Interesse, welche das Isoklinenfeld erhalten. Ihnen entsprechen gewisse Punkttransformationen auf der Einheitskugel. Transformationen andererseits, welche die Isoklinen ändern, ordnen einem Vektor \(a\) längs einer Isoklinen \(\infty ^1\) Vektoren \(a'\) zu, deren sphärische Bilder auf der Einheitskugel \((\Sigma )\) eine Kurve bilden; so kommt man zu einer Berührungstransformation auf \((\Sigma )\). Die ``sphärischen Koordinaten'' \(\lambda,\mu \) genügen (bei Deformationen der erwähnten Art) einer \textit{Pfaff}schen Gleichung, deren weitere Diskussion eine Reihe geometrischer Deutungen nach sich zieht.