Dreifach-orthogonale Kurvenkongruenzen. (Q567788)

Dreifach-orthogonale Kurvenscharen, die sich im allgemeinen nicht dreifach-orthogonalen Flächenscharen zusammenfassen lassen, treten auf bei der Untersuchung des Feldes eines allgemeinen symmetrischen Tensors zweiter Stufe, der jedem Punkt des Feldes drei zueinander senkrechte Hauptrichtungen zuordnet, die die Tangentenrichtungen dreier sich senkrecht schneidender Kurvenkongruenzen bilden. Gesucht wird ein System von Bedingungsgleichungen für die geometrischen Größen, wenn drei Kurvenscharen ein derartiges Orthogonalsystem bilden sollen. (Spezialfall: die \textit{Lamé}schen Gleichungen sichern die Existenz eines dreifach orthogonalen Flächensystems.) Jede Kurve läßt sich als auf einem Flächenstreifen liegend auffassen, dessen Tangentialnormale und Flächennormale in jedem Punkt durch die Richtung der beiden anderen Kurven bestimmt werden. Diese Vektoren bilden mit der Kurventangente ein Dreibein, auf das man den Drehvektor beziehen kann. Es ergeben sich neun Differentialgleichungen erster Ordnung als Integrabilitätsbedingung für die Koeffizienten. Als Anwendung werden die Gleichgewichtsbedingungen eines Spannungszustandes, bezogen auf die Spannungstrajektorien, aufgestellt.