Topologische Fragen der Differentialgeometrie. 34: Über topologische Invarianten von zwei Kurvenscharen im Raum. (Q567791)

Zwei analytische Kurvenscharen im Raum, die keine Flächenschar aufspannen, seien gegeben durch zwei Operatoren \[ \Delta _i = \sum _{k=1}^3 a^k_i \frac \partial {\partial x^k} \qquad (i=1,2). \] Die Theorie ihrer topologischen Invarianten wird in zwei Schritten entwickelt: I. Invarianten gegenüber Punkttransformationen. Setzt man \[ \Delta _3=(\Delta _1\Delta _2), \quad (\Delta _i\Delta _3)= \sum _{k=1}^3 c^{ik} \Delta _k \quad (i=1,2), \] so ergibt sich aus einem allgemeinen Satz von \textit{Bol} und \textit{Howe} (1930; F. d. M. \(56_{\text I}\), 612): Das vollständige Invariantensystem von \(\Delta _1,\Delta _2\) besteht aus den Koeffizienten \(c^{ik}\) und ihren Ableitungen mittels der \(\Delta _i\). Die einzigen Relationen zwischen den Invarianten ergeben sich aus der \textit{Jacobi}-Identität zwischen den drei Operatoren. II. Invarianten gegen Umnormierungen \(\overline \Delta _1=\lambda \Delta _1\), \(\overline \Delta _2=\mu \Delta _2\). Zunächst werden ``Halbinvarianten'' \(A\) aufgesucht, das sind Funktionen mit den Transformationsgleichungen \(\overline A=\lambda ^r \mu ^s A\), insbesondere zwei Hauptinvarianten \(A^1,A^2\) von fünfter Ordnung. Mit Hilfe der Halbinvarianten erhält man schließlich eine Übersicht über die vollständigen Invarianten. (Die niedrigsten sind von sechster Ordnung.) Eine wesentliche Vereinfachung des Formelapparats wird erzielt durch die Beschränkung auf infinitesimale Umnormierungen; das ist möglich, weil die Umnormierungen eine \textit{Lie}sche Gruppe bilden. Geometrische Deutungen: Projiziert man die eine Kurvenschar mittels der zweiten auf eine Fläche, so erhält man eine zweiparametrige Kurvenschar mit einer Differentialgleichung \(\dfrac {d^2v}{du^2}=\omega \left (u,v,\dfrac {dv}{du} \right )\); projiziert man die zweite Schar mittels der ersten, so erhält man die adjungierte Gleichung. Ihre Invariantentheorie wurde von \textit{Tresse} (1896; F. d. M. 27, 254 (JFM 27.0254.*)-255), der Spezialfall einer kubischen Differentialgleichung von \textit{Thomsen} (Abhandlungen Hamburg 7 (9130), 301-328; F. d. M. \(56_{\text I}\), 610) behandelt. Es zeigt sich: Im Falle \(A^1=0\) ist \(\omega \) ein Polynom dritten Grades in \(\dfrac {du}{dv}\); im Falle \(A^2=0\) gilt das entsprechende von der adjungierten Gleichung; im Falle \(A^1=A^2=0\) ist die Gleichung mit \(\dfrac {d^2v}{du^2}=0\) topologisch äquivalent. - Die gefundenen Invarianten werden schließlich in folgendem Zusammenhang gedeutet: 1) mit zwei Kurvenscharen sechster Differentiationsordnung, die mit dem Gewebe topologisch invariant verbunden sind, 2) mit einem Parallelismus, bei dem nur gewisse Richtungen integrabel sind, 3) mit einem Ergebnis von \textit{Koppisch} (1905; F. d. M. 36, 391 (JFM 36.0391.*)): daß es unendlich viele Klassen von Differentialgleichungen vom Charakter der ``kubischen Klasse'' gibt.