Topologische Fragen der Differentialgeometrie. 38: Über zwei Kurvenscharen und eine Flächenschar. (Q567793)

Im Anschluß an die beiden vorstehend besprochenen Arbeiten wird gezeigt: Die einzigen Gewebe aus zwei Kurvenscharen, die sich durch Hinzunahme einer Flächenschar zu einem ``kommutativen'' \((A,B,f)\)-Gewebe ergänzen lassen, sind die, die eine in bezug auf beide Kurvenscharen transitive, zweigliedrige abelsche Gruppe gestatten, und deren Differentialgleichung sich in der Form \[ \frac {d^2v}{du^2} = f\left (\frac {dv}{du}\right ) \] schreiben läßt. Insbesondere sind die beiden Differentialgleichungen zu \(y''=0\) äquivalent, wenn für die Funktion \(P(w)\) (vgl. die vorstehend besprochene Arbeit) gilt: \(P=0\) oder \(P=\dfrac 1{w^2}\) oder \(P=\wp (w)\) (mit konjugiert komplexen Perioden und dem Periodenwinkel \(\dfrac {2\pi }3\)). D. h. die einzigen Kurven, die mit ihren \(\infty ^2\) Parallelverschobenen ein System bilden, das im kleinen mit den Geraden der Ebene topologisch äquivalent ist, sind die Parabeln, die \(W\)-Kurven der ebenen Affingeometrie und die Kurven mit der affinen natürlichen Gleichung \(P=\wp (w)\).