Variétés à connexion affine. Généralisation de l'équation de Riccati. (Q567836)

In einer \(n\)-dimensionalen Mannigfaltigkeit mit allgemeinem affinem Zusammenhang (im Sinne \textit{Cartan}s) bestehen die Differentialgleichungen der Vektorübertragung aus \(n\) totalen Gleichungen für \(n\) Unbekannte \(v^i\) auf der Mannigfaltigkeit bzw. aus \(n\) gewöhnlichen Differentialgleichungen längs einer Kurve auf der Mannigfaltigkeit. Beschränkt man sich auf Richtungsübertragungen, so ergeben sich nur \(n-1\) Gleichungen, welche durch Einführung (überzähliger) Richtungskoordinaten \(t^k_i=\dfrac {v_k}{v_i}\) auf eine Gestalt gebracht werden können, wo sie als Verallgemeinerung \textit{Riccati}scher Gleichungen gedeutet und integriert werden können. Auf diesem Wege ergibt sich noch eine bemerkenswerte Spaltung des Krümmungstensors der Übertragung, deren einen Teil (die ``courbure d'ampliation'') man durch Änderung der Vektorübertragung bei festbleibender Richtungsübertragung zum Verschwinden bringen kann. Im Falle eines metrischen Zusammenhanges auf der Mannigfaltigkeit gewinnt man auch die Erhaltung von Winkeln im Richtungsübertragungsprozeß.