On the fundamental formulae of the geometry of tensor submanifolds. (Q567838)

Verf. betrachtet zunächst eine in \(L_n\) eingespannte \(X^m_n\) und untersucht die Krümmungseigenschaften, insofern diese sich auf erste Krümmungen beziehen. Nach der üblichen Einführung von \(B\) und \(C\) lassen sich dann alle vorkommenden geometrischen Objekte in bezug auf die lokale \(m\)-Richtung und die lokale \((n-m)\)-Richtung spalten, und es ergeben sich daraus eine große Menge von Formeln, da eine Größe der Valenz \(p\) ja im allgemeinen in \(2^p\) Teile zerfällt. Von diesen Spaltungen, die in dankenswerter Vollständigkeit ausgeführt sind, werden Tabellen gegeben. Die Übersicht wird etwas erschwert durch den Umstand, daß bei der Spaltung des Übertragungsobjektes \(\Gamma \) für jeden einzelnen Teil ein neuer Kernbuchstabe eingeführt wird, was bei der übrigens vom Verf. konsequent angewandten Kern-Index-Methode prinzipiell unnötig ist. Auch ist zu beachten, daß eine etwas abweichende Nomenklatur eingeführt wird. Ist \((\kappa )\) ein holonomes, \((a)\) ein beliebiges anholonomes System, so benimmt sich \(A^{a\mu \lambda }_{\kappa cb}\Gamma ^\kappa _{\mu \lambda }\) bei Transformation von \((a)\) und festgehaltenem \((\kappa )\) wie ein Affinor. Solche Gebilde nennt Verf. ``relative Tensoren'' im Gegensatz zu den ``absoluten Tensoren''. Die Bemerkung, daß Torsion und Krümmung keine absoluten Tensoren sind, ist dem Ref. unverständlich. Außerdem behauptet Verf. die Existenz von ``\textit{Ricci}-Tensoren'', d. s. Objekte, die sich im Gegensatz zu den gewöhnlichen Affinoren (``geometrical tensors'') nur bei holonomen, nicht aber bei anholonomen Koordinatentransformationen als Tensor transformieren. Da der ``\textit{Riemann-Christoffel}tensor'' als Beispiel genannt wird, scheint zu folgen, daß solche Tensoren entstehen, wenn man für anholonome Systeme die für holonome Systeme gültige Definitionsgleichung benutzt und nicht die mittels des Anholonomitätsobjektes \(\Omega ^a_{cb}\) korrigierte Gleichung, so daß sich Zwitterbildungen dieser Art wohl immer vermeiden ließen. Im letzten Kapitel wird eine Metrik eingeführt.