Sub-spaces of a space with torsion. (Q567845)

Verf. betrachtet metrische Räume \(V_n\) der Dimension \(n\) mit dem affinen Zusammenhang \[ \Gamma ^\alpha _{\beta \gamma } = \{{}^\alpha _{\beta \gamma }\} + S^{\cdot \cdot \alpha } _{\beta \gamma } -2 S^\alpha _{\cdot (\beta \gamma )} \] (\(\{\dots \}\) \textit{Christoffel}klammern, \(S^{\cdot \cdot \alpha }_{\beta \gamma }\) Torsionstensor), in diese eingebettete Räume \(V_m\) der Dimension \(m\) mit entsprechenden Größen \(g'_{\alpha \beta },S^{\prime \alpha }_{\beta \gamma }, \dots \) und in diese wiederum eingebettete Räume \(V_l\) der Dimension \(l\) mit Größen \(g''_{\alpha \beta },S^{\prime \prime \alpha }_{\beta \gamma }\) usw. Die akzentuierten Größen werden ``induziert'' genannt und die kovariante Differentiation wird auf alle so eingebetteten Mannigfaltigkeiten erweitert. Die Wahl der induzierten Metrik \(g'_{\alpha \beta }\) hat folgende Konsequenzen: 1) Jeder Tangentialvektor auf \(V_m\) besitzt als Vektor von \(V_m\) wie als solcher von \(V_n\) die gleiche Länge; 2) ist ein Tangentialvektorfeld auf \(V_m\) parallel längs einer Kurve auf \(V_m\) im Sinne von \(V_n\), so ist es auch ein Parallelvektorfeld im Sinne von \(V_m\) längs derselben Kurve. Für den schiefsymmetrischen Teil \(\Omega ^{\cdot \cdot \alpha }_{[ij]}\) des Krümmungstensors \[ \Omega ^{\cdot \cdot \alpha }_{ij} \quad (\alpha =1,2,\dots,n; i,j=1,2,\dots,m) \] besteht zunächst die folgende Identität: \[ \Omega ^{\cdot \cdot \alpha }_{[ij]} = S^{\prime \cdot \cdot k}_{ij} \Theta ^{\cdot \alpha }_k - S^{\cdot \cdot \alpha }_{\beta \gamma } \Theta ^{\cdot \beta }_i \Theta ^{\cdot \gamma }_j \qquad \Big ( \Theta ^{\cdot \alpha }_i = \frac {\partial x^\alpha }{\partial x^{\prime i}} \Big ). \] Sie bedeutet: Der \(V_n\)-Torsionsvektor ist Summe des \(V_m\)-Torsionsvektors (tangential zu \(V_m\)) und des Vektors \(2\Omega ^{\cdot \cdot \alpha }_{[ij]} dx^{\prime i} dx^{\prime j}\) (normal zu \(V_m\)). Für \textit{Riemann}sche \(V_n\) verschwinden diese Komponenten beide, für \textit{Riemann}sche \(V_m\) die erste, für halbsymmetrische \(V_n\) (\(S^{\cdot \cdot \alpha }_{\beta \gamma } =S_{[\beta } \delta ^\alpha _{\gamma ]}\)) die zweite. Nach diesen mehr allgemeinen Ergebnissen behandelt Verf. speziellere Probleme, zunächst die Theorie der Krümmungslinien für \(V_{n-1}\) in \(V_n\). Zufolge der Asymmetrie von \(\Omega ^{\cdot \cdot \alpha }_{ij}\) in \(i,j\) hat man es hier mit zweierlei ``Säkulargleichungen'' zu tun: \[ |\omega _{ij}-\sigma g'_{ij}|=0 \quad \text{bzw.}\quad |\omega _{(ij)} - \varrho g'_{ij} |=0, \] wobei \(\omega _{ij}\) vermöge der wechselseitig orthogonalen Einheitsvektoren \[ \underset {r} \chi ^\alpha \qquad (r=1,\dots,q=n-m) \] gemäß \[ \Omega ^{\cdot \cdot \alpha }_{ij} = -\sum _{r=1}^q \overset {r} \omega _{ij} \, \underset {r} \chi ^\alpha \] definiert ist. Werden die entsprechenden Hauptrichtungen mit \[ \underset {u} \Lambda ^{\prime i} \text{\quad bzw.\quad } \underset {u} \lambda ^{\prime i} \qquad (u=1,2,\dots,m) \] bezeichnet, so erhält man notwendig zweierlei ``\textit{Rodrigues}sche Formeln'' \[ \frac {D\chi ^\alpha }{Ds} = \underset {u} \varrho \underset {u} \lambda ^\alpha + \sum _v S^{\cdot \cdot \mu }_{\beta \gamma } \underset {u} \lambda ^\beta \underset {v} \lambda ^\gamma \chi _\mu \lambda ^\alpha \qquad \text{bzw.} \qquad \frac {D\chi ^\alpha }{Ds} = \underset {u} \sigma \underset {u} \Lambda ^\alpha, \] die Verf. weiterhin auch für den allgemeinen Fall einer \(V_m\) in \(V_n\) (\(m<n-1\)) ableitet. Sodann wird die relative Krümmung \[ \overline K=\frac 2{m(m-1)} \sum _{u,v}' L_{ijkl} \underset {u} \eta ^{\prime i} \underset {v} \eta ^{\prime j} \underset {u} \eta ^{\prime k} \eta ^{\prime l} \] der \(V_m\) in \(V_n\) vermöge \(\varrho \) und \(\sigma \) ausgedrückt: \(L_{ijkl}= \Omega ^{\cdot \cdot \alpha }_{ik}\cdot \Omega _{jl\alpha }- \Omega ^{\cdot \cdot \alpha }_{jk}\Omega _{il\alpha }\). Gelegentlich einer früheren Untersuchung hatte Verf. die Asymptotenkurven \(p\)-ter Ordnung einer \textit{Riemann}schen \(V_m\) in einer \textit{Riemann}schen \(V_n\) studiert (vgl. \textit{H. P. Hayden}, 1931; F. d. M. \(57_{\text I}\), 932). Die Ergebnisse dieser Arbeit bleiben auch im vorliegenden Fall (mit einer einzigen Ausnahme) bestehen. Die charakteristischen Bedingungen für eine geodätische \(V_m\) in \(V_n\) lauten: \[ \Omega ^{\cdot \cdot \alpha }_{(ij)}=0 \] und einschneidender für eine Hyperebene: \[ \Omega ^{\cdot \cdot \alpha }_{ij} =0. \] Aus der zusätzlichen Bedingung \(\Omega ^{\cdot \cdot \alpha }_{[ij]}=0\) ergibt sich so der Satz: Eine geodätische \(V_m\) ist dann und nur dann eine Hyperebene, wenn der relative Krümmungstensor \(L_{ijkl}\) in jedem ihrer Punkte verschwindet. Ferner gilt: Für eine geodätische \(V_m\) bzw. eine Hyperebene ist jede Kurve eine Asymptotenkurve erster bzw. höchster, \((m-1)\)-ter Ordnung (\(\underset {m} \kappa =0\)). Bedeutet: \[ \begin{matrix} \l &\; &\; &\; &\;\l &\; &\;\l,\\ \Omega ^{\cdot \cdot \alpha }_{ij} &\text{den}&\text{Krümmungstensor}& \text{von}&V_m&\text{in}&V_n\\ \Omega ^{\prime \cdot \cdot k}_{ab}&,\hskip -.25em,&,\hskip -.25em,&,\hskip -.25em,& V_l&,\hskip -.25em,&V_m\\ \Omega ^{\prime \prime \cdot \cdot \alpha }_{ab}&,\hskip -.25em,&,\hskip -.25em,&,\hskip -.25em,&V_l&,\hskip -.25em,&V_n \end{matrix} \] (\(a,b,\dots =1,2,\dots,l\); \(i,j=1,2,\dots,m\); \(\alpha,\beta =1,2,\dots,n\)), so bestehen die Fundamentalrelationen \[ \Omega ^{\prime \prime \cdot \cdot \alpha }_{ab} = \Omega ^{\prime \cdot \cdot i}_{ab} \Theta ^{\cdot \alpha }_i + \Omega ^{\cdot \cdot \alpha }_{ij} \psi _a^{\cdot i} \psi _b^{\cdot j} \qquad \Big (\psi ^{\cdot i}_a=\frac {\partial x^{\prime i}} {\partial x^{\prime \prime a}} \Big ). \] Von den zahlreichen Ergebnissen, die Verf. an dieser Stelle für die Theorie der \(V_l\) in \(V_m\) in \(V_n\) gewinnt, sei hier nur die Relation \[ L''_{abcd}=L'_{abcd}+L_{ijkl} \psi ^{\cdot i}_a \psi ^{\cdot j}_b \psi ^{\cdot k}_c \psi ^{\cdot l}_d \] erwähnt: Der relative Krümmungstensor einer \(V_l\) in \(V_n\) ist die Summe des relativen Krümmungstensors von \(V_l\) in \(V_m\) und des induzierten relativen Krümmungstensors von \(V_m\) in \(V_n\). Ferner der Satz: Eine \(V_l\) ist dann und nur dann Hyperebene in \(V_m\), wenn ihr erster Normalraum (\(m_1\) unabhängige der \(m^2\) Vektoren \(\Omega ^{\cdot \cdot \alpha }_{ij}\) (\(i,j=1,2,\dots,m\))) relativ zu \(V_n\) senkrecht zu \(V_m\) ist. Ist der eben erwähnte erste Normalraum Tangentialraum an \(V_m\), so ist \(V_l\) nach Definition Asymptoten-\(V_l\) erster Ordnung von \(V_m\) in \(V_n\). Gilt dasselbe auch noch für das Verhalten der höheren Normalräume, so handelt es sich um Asymptoten-\(V_l\) höherer Ordnung von \(V_m\) in \(V_n\). Auch über derartige \(V_l\) gewinnt Verf. noch eine Reihe bemerkenswerter Resultate.