Groups of motion in spaces admitting absolute parallelism. (Q567848)

Verf. untersucht die Automorphismen allgemeiner Räume mit Fernparallelismus, darunter insbesondere solcher mit \textit{Riemann}scher Metrik und Torsion, wie sie durch einige Zeit für die einheitlichen Feldtheorien von \textit{A. Einstein} und \textit{W. Mayer} von Bedeutung waren. Sind \(\lambda ^\mu _i (x)\) Vektoren im Punkt \(P\) eines solchen Raumes \(T_n\), \(\overline \lambda ^\mu _i (x)\) \(n\) andere, so gilt \[ \overline \lambda ^\mu _i(x) = a^{\cdot j}_i \lambda ^\mu _j(x) \tag{*} \] insbesondere mit numerischen Koeffizienten \(a^{\cdot j}_i\) in jedem bestimmt zugeordneten Punkt \(P_0\) mit zu \(\lambda ^\mu _0(x)\) parallelen Vektoren \(\lambda ^\mu _i(x_0)\). Ist insbesondere für alle Punkte \(x^\alpha =0\) (\(\alpha =1,2,\dots,m\)) einer \(T_{n-m}\) die Wahl eines Koordinatensystems derart möglich, daß \[ \lambda ^\alpha _z(x^\omega )=0, \] so ist \(T_{n-m}\) autoparallel. Zwei Räume mit Fernparallelismus und gegebenen \(n\)-Beinfeldern \(\lambda ^\mu _i(x),\overline \lambda ^\mu _i(\overline x)\) sind äquivalent, sobald eine Transformation \(x\to \overline x\) existiert, derart daß \[ \overline \lambda ^\mu _i(\overline x) = a^{\cdot j}_i \frac {\partial \overline x^\mu }{\partial x^\nu } \lambda ^\nu _j(x) \quad \text{bzw.}\quad \frac {\partial \overline x^\mu }{\partial x^\nu } = \overline \lambda ^\mu _{\overline i}(\overline x) a^{\overline i}_i \lambda ^i_\nu (x) \tag{**} \] besteht (\(a^{\overline i}_{\cdot i}\) Inverse von \(a^{\cdot j}_i\)) und die Integrabilitätsbedingungen dieses Systems erfüllt sind. Nach diesen Vorbereitungen beginnt Verf. das Studium des eigentlichen Problems durch Übergang vom Isomorphismus zum Automorphismus, derart daß in (**) \(\overline \lambda ^\mu _i(\overline x)\) durch \(\lambda ^\mu _i(\overline x)\) ersetzt und die Integrabilitätsbedingungen von \[ \lambda ^\mu _i(\overline x)=a^{\cdot j}_i \frac {\partial \overline x^\mu } {\partial x^\nu } \lambda ^\nu _j(x) \] untersucht werden. Ist auf diesem Wege jeweils der sogenannte Gruppenkeim bestimmt, so entsteht die Aufgabe der Bestimmung der vollständigen Gruppe für einen gegebenen Raum. Hier gewinnt Verf. obere Schranken für die Parameterzahl, Aussagen über Untergruppen, insbesondere über invariante Untergruppen, und anderes mehr. Der letzte Abschnitt behandelt wichtige Umkehrungen des Problems: Die Gruppe ist gegeben, die zugehörigen Raumformen sind zu bestimmen. Untersucht werden: einparametrige Fälle, Spiegelungen, maximale vollständige Gruppen und Anwendungen auf stationäre Raumzeitmannigfaltigkeiten, kugelsymmetrische Raumzeitmannigfaltigkeiten, insbesondere auch solche von kosmologischer Bedeutung. (IV 8, VII 2.)