Differentialgeometrie und topologische Gestalt. (Q567865)

Erweiterte Wiedergabe eines Vortrages vor der D. M. V., in dem Verf. über Fragen der Differentialgeometrie im großen berichtet; und zwar handelt es sich um Zusammenhänge zwischen topologischen Eigenschaften im großen und lokalen inneren differentialgeometrischen Eigenschaften von Flächen und höherdimensionalen Mannigfaltigkeiten. Eine ``differentialgeometrische Fläche'' wird dabei aufgefaßt als eine singularitätenfreie topologische Fläche, die zunächst durch Einführung lokaler (d. h. in passend begrenzten Umgebungen verwendbarer), sich analytisch mit nicht verschwindender Funktionaldeterminante transformierender Koordinatensysteme zu einer ``analytischen Fläche'' gemacht wird, auf der schließlich durch Einführung lokaler, analytischer, sich wie Tensorkomponenten transformierender Maßfunktionen \(g_{ik}\) mit \(\|g_{ik}\|>0\) eine analytische Metrik erklärt wird. Die Ausgangsfragestellung wird nun folgendermaßen aufgespalten. (1): Gegeben eine topologische Fläche; wie weit ist eine auf dieser Fläche einzuführende Metrik durch die topologischen Eigenschaften der Fläche festgelegt? (Metrisationsproblem.) (2): Gegeben ein Flächenelement, also ein Punkt (Trägerpunkt) und ein in einer Umgebung dieses Punktes zulässiges Funktionensystem \(g_{ik}\); was läßt sich über die topologischen Eigenschaften einer differentialgeometrischen Fläche sagen, die dieses Element enthält, also eine ``Fortsetzung'' desselben ist? (Fortsetzungsproblem.) Bei der Behandlung dieser Probleme hat es sich als fruchtbar erwiesen, sich auf die Klasse der sogenannten vollständigen Flächen zu beschränken, über deren verschiedenartige Charakterisierung Verf. zunächst berichtet (vgl. \textit{H. Hopf, W. Rinow}, Commentarii math. Helvetici 3 (1931), 209-225; F. d. M. \(57_{\text I}\), 871). Als Ausgangspunkt der weiteren Betrachtungen dienen die bekannten Sätze über die Verteilung der (vollständigen) Raumformen auf die verschiedenen topologischen Flächentype, Sätze, deren Beiträge zu den beiden genannten Problemstellungen genau analysiert werden. Den Hauptteil des Berichtes machen die hieran anknüpfenden Verallgemeinerungen auf den Fall nicht konstanter Krümmung aus, die sich vor allem in den nachstehend besprochenen Arbeiten von Verf. und \textit{W. Rinow} finden. Der Bericht wendet sich sodann den mehrdimensionalen Mannigfaltigkeiten zu. Zu den - im Verhältnis zum zweidimensionalen Falle noch recht lückenhaften - Ergebnissen hat in den letzten Jahren neben \textit{Bieberbach} und \textit{Löbell} gerade auch Verf. selbst beigetragen. Neu ist hier u. a. der Satz, daß es zu ein und demselben \(n\)-dimensionalen geschlossenen topologischen Mannigfaltigkeitstyp (\(n>1\)) niemals Raumformen mit verschiedenem Vorzeichen der Krümmung geben kann. (Dabei wird null als Vorzeichen gezählt.) Daß eine sphärische Raumform nicht mit einer euklidischen oder hyperbolischen homöomorph sein kann, folgt sofort aus der Endlichkeit bzw. Unendlichkeit der zugehörigen Fundamentalgruppen. Für die verbleibende Behauptung, daß eine \(n\)-dimensionale (\(n>1\)) geschlossene euklidische Raumform nicht einer hyperbolischen homöomorph sein kann, gibt Verf. im Anhang einen Beweis von \textit{Seifert} und \textit{Threlfall} nach einer im Anschluß an den Vortrag des Verf. erfolgten mündlichen Mitteilung. Der Beweis wird zurückgeführt auf den Beweis des Satzes, daß eine abelsche Bewegungsgruppe des hyperbolischen Raumes \(H_n\) (\(n>1\)) niemals einen endlichen Fundamentalbereich hat. (Vgl. zu den hier erörterten Fragen auch die später erschienenen Arbeiten von \textit{S. B. Myers, J. H. C. Whitehead, S. Cohn-Vossen, A. Duschek} (1935; F. d. M. \(61_{\text I}\), 786-791) und \textit{W. Rinow}, F. d. M. \(62_{\text I}\), 859.)