Die topologischen Gestalten differentialgeometrisch verwandter Flächen. (Q567869)

Bezüglich der Begriffsbildung vergleiche die drei vorangehenden Referate. Zwei vollständige Flächen, die Fortsetzungen isometrischer Flächenelemente sind, mögen differentialgeometrisch verwandt heißen. Es handelt sich in der vorliegenden Arbeit um die Beantwortung der Frage: Für welche Paare von topologischen Flächentypen gibt es differentialgeometrisch verwandte Repräsentanten? Man bezeichne mit bzw. \(\mathfrak K_+,\mathfrak K_0,\mathfrak K_-\) die Klassen von Flächentypen, die sich (durch geeignete Metrisierung) zu bzw. elliptischen, euklidischen, hyperbolischen Raumformen machen lassen. Es enthält also \(\mathfrak K_+\) die Kugel und die projektive Ebene, \(\mathfrak K_0\) die Ebene, den Zylinder, das offene \textit{Möbius}sche Band, den Torus und den \textit{Klein}schen Schlauch, \(\mathfrak K_-\) alle übrigen Flächen sowie die offenen Flächen von \(\mathfrak K_0\). Dann ergibt sich in Verallgemeinerung bekannter Sätze über Raumformen als Antwort auf die oben gestellte Frage, daß zwei topologische Flächentypen genau dann differentialgeometrisch verwandte Repräsentanten besitzen, wenn sie zugleich einer der drei Klassen \(\mathfrak K_+,\mathfrak K_0,\mathfrak K_-\) angehören. Der Beweis reduziert sich durch Übergang zu den universellen Überlagerungsflächen und Heranziehung des von \textit{Rinow} bewiesenen Eindeutigkeitsatzes (vgl. das vorletzte Referat) leicht auf den Beweis des folgenden Satzes: Wenn \(A\) und \(B\) differentialgeometrisch verwandt sind und \(A\) zu \(\mathfrak K_0\), aber nicht zu \(\mathfrak K_-\) gehört, so gehört \(B\) zu \(\mathfrak K_0\). (Wie in einer Fußnote im Anschluß an eine Bemerkung von \textit{de Rham} ausgeführt wird, läßt sich dieser Sachverhalt leicht durch Heranziehung der Uniformisierungstheorie erschließen.) Die Verf. benutzen zum Beweis den im vorstehenden Referate erwähnten \textit{Rinow}schen Satz (``Satz 6''), mit dessen Hilfe die Behauptung auf den folgenden rein topologischen Satz zurückgeführt wird: Wenn \(A\) und \(B\) eine gemeinsame unverzweigte Überlagerung \(C\) besitzen, die nur endlich viele Blätter über \(B\) hat, und wenn \(A\) zu \(\mathfrak K_0\) gehört, so gehört auch \(B\) zu \(\mathfrak K_0\). Beweis durch Diskussion der einzelnen für \(C\) bestehenden Möglichkeiten.