Projective differential geometry of curves and surfaces. (Q567893)

Verf. will in diesem Buche die Ergebnisse, welche die verschiedenen Richtungen und Methoden der projektiven Differentialgeometrie geliefert haben, einheitlich zusammenfassen, um so einerseits den amerikanischen Studenten die Untersuchungen der europäischen, insbesondere der italienischen Schule näher zu bringen und andererseits die neueren Beiträge der amerikanischen Schule allgemeiner bekannt zu machen. Als am besten für diesen doppelten Zweck geeignet sieht er eine auf \textit{Wilczynski} zurückgehende, jedoch etwas abgeänderte Methode an. Er stützt sich dabei auf seine eigenen Arbeiten. Eine vollständige Darstellung der sämtlichen Ergebnisse der projektiven Differentialgeometrie beabsichtigt Verf. nicht zu geben. Spezielle Fragen, die in anderen Büchern mit ausreichender Vollständigkeit behandelt worden sind, werden nur kurz gestreift un die mehr analytisch als geometrisch interessierenden Gegenstände beiseite gelassen. So werden z. B. die Theorie und Berechnung der vollständigen Invariantensysteme nicht ausgeführt. Inhalt: Kap. I: Kurven. (Begründung der \textit{Wilczynski}schen Theorie der Kurven im \(n\)-dimensionalen projektiven Raum \(S_n\), die Ergebnisse von \textit{Halphen} über ebene und räumliche Kurven). Kap. II: Regelflächen. (Abwickelbare Flächen; \textit{Wilczynski}sche Theorie der Regelflächen im \(S_n\), Theorie der Quasiasymptotenlinien von \textit{Bompiani}.) Kap. III: Flächen im gewöhnlichen Raum. (Begründung der \textit{Wilczynski}schen Theorie im \(S_3\), Differentialgleichungen, bezogen auf Asymptotenlinien, kanonische Form von \textit{Fubini}, lokale Koordinatensysteme und Potenzreiheentwicklungen, die berührenden Quadriken, reziproke Kongruenzen und kanonische Strahlenbüschel, konjugierte Netze, hypergeodätische Linien, Transformation von \textit{Čech}, pangeodätische Linien, \textit{Demoulin}sches Tetraeder.) Kap. IV: Konjugierte Netze. (Flächen im \(S_n\) bezogen auf konjugierte Netze, die \textit{Laplace}sche Transformation, ebene Netze, Besonderheiten der konjugierten Netze im \(S_3\), konjugierte und harmonische Beziehungen zwischen Netzen und Kongruenzen, \textit{Laplace}sche Polarfolgen.) Kap. V: Transformationen von Flächen. (Die fundamentale Transformation von \textit{Jonas} und \textit{Eisenhart}, die Transformation von \textit{Koenigs}, allgemeine Abbildungen von Flächen im \(S_n\) und \(S_3\), die Transformation von \textit{Ribaucour}, Liniengeometrie und Flächen im \(S_3\), \(W\)-Kongruenzen nach den Theorien von \textit{Fubini} und \textit{Terracini}.) Kap. VI: Metrische und affine Anwendungen. (Vorbereitungen aus der metrischen Differentialgeometrie und der Kugelgeometrie, Anwendungen auf die Theorie der Krümmungslinien, Zusammenhang der \textit{Fubini}schen Normalkoordinaten mit den cartesischen Koordinaten, Anwendungen auf die affine Geometrie der Flächen, Flächen mit unbestimmten Direktrixkurven.) Kap. VII: Flächen und Mannigfaltigkeiten. (Die Umgebungen verschiedener Ordnung eines Punktes auf einer Fläche oder einer mehrdimensionalen Mannigfaltigkeit, hyperebeneSchnitte, Flächen im \(S_5\); \textit{Segre}s Theorie der Mannigfaltigkeiten, die durch lineare Räume erzeugt werden, und die Untersuchungen des Verf. über Systeme von Mannigfaltigkeiten, deren Erzeugende eine Beziehung untereinander haben.) Kap. VIII: Verschiedenes. (Geschichtliche Bemerkungen, die \textit{Fubini}sche Methode, Vergleichung verschiedener Koordinatensysteme, Kongruenzen im \(S_3\).) Am Schluß jedes Kapitels befinden sich zahlreiche Übungsaufgaben.