Die Volumina in linearen Scharen konvexer Körper. (Q567982)

``Nach \textit{Brunn} und \textit{Minkowski} ist in einer Linearschar \(n\)-dimensionaler konvexer Körper die \(n\)-te Wurzel aus dem Rauminhalt eine konkave Funktion des Scharparameters. Für diesen Satz bringen wir in \S 1 einen neuen Beweis, der Grundgedanken von \textit{Brunn} und \textit{Minkowski} zu einem übersichtlichen Induktionsschluß nach der Dimensionenzahl ausgestaltet.'' - Der Beweis ist wiedergegeben bei \textit{T. Bonnensen, W. Fenchel} Theorie der konvexen Körper, Ergebnisse der Math. 3, 1 (F. d. M. \(60_{\text I}\), 673), S. 88 ff. \S 2 ``bezieht sich auf eine andere Art, Linearscharen konvexer Körper zu bilden. Die Krümmungsfunktion \(\varphi (\xi )\), d. h. das Produkt der Hauptkrümmungsradien einer stetig gekrümmten konvexen Überfläche, hat, als Funktion auf dem sphärischen Bilde betrachtet, die folgenden beiden Eigenschaften: 1) Sie ist stetig und nirgends negativ. 2) Faßt man sie als Massenbelegung der Einheitskugel auf, so fällt ihr Schwerpunkt in den Ursprung. Umgekehrt gibt es zu jeder Funktion mit diesen Eigenschaft eine bis auf Parallelverschiebung eindeutig bestimmte Überfläche, deren Krümmungsfunktion die gegebene ist. Dies gibt die Möglichkeit, durch lineare Kombination der Krümmungsfunktionen eine neue Art Linearkombination konvexer Körper zu bilden, worauf schon \textit{Blaschke} hinwies.'' Mit \(\varphi _1(\xi ),\varphi _2(\xi )\) hat nämlich auch \(\varphi _{\lambda,\mu }=\lambda \varphi _1 + \mu \varphi _2\) die beiden genannten Eigenschaften. Für den Rauminhalt des allgemeinen Körpers einer Linearschar gilt dann die Konvexitätseigenschaft \[ W_{\lambda,\mu }^{\frac {n-1}n} \geq \lambda W_1^{\frac {n-1}n} + \mu W_2^{\frac {n-1}n}. \]