Sur les opérations formelles du calcul logique. (Q568038)

Der Verf. will zeigen, daß\ sich die logische Summe und das logische Produkt auf die entsprechenden algebraischen Operationen zurückführen lassen. Das Ergebnis seiner Ausführungen, die mir nicht ganz klar zu sein scheinen, glaube ich in folgendem algebraischen Satz aussprechen zu können: \(R\) sei ein Ring mit Einselement, in dem für jedes Element \(a\) die Gleichung \(a^2=a\) gilt (jedes Element idempotent); Null- und Einselement und die Verknüpfungen von \(R\) seien in üblicher Weise geschrieben. Aus dem Ring \(R\) kann man eine \textit{Boole}sche Algebra \(A\) erklären, indem man die Addition zweier Elemente \(a\) und \(b\) in \(A\) durch \(a+b-ab\), das Produkt in \(A\) als das Produkt in \(B\), das zu einem Element \(a\) komplementäre Element als \(1-a\), das Null- bzw. Einselement von \(A\) als das Null- bzw. Einselement von \(R\) definiert. In der Tat erkennt man leicht, daß\ durch diese Definitionen die Axiome einer \textit{Boole}schen Algebra erfüllt werden. Die Inklusion \(a\subset b\) kann man in bekannter Weise durch \(a=ab\) erklären. Es sei noch bemerkt, daß\ in \(R\) aus der Gleichung \(a^2=a\) die Kommutativität von \(R\) und für jedes Element \(a\) die Gleichung \(a=-a\) folgt, und daß\^^Msich dem vorstehenden Satz der folgende Zusatz hinzufügen läßt: Wenn \(R\) nullteilerfrei ist, so ist \(R\) der Körper, der nur aus dem Null- und Einselement besteht. Die \(R\) zugeordnete \textit{Boole}sche Algebra ist dann die des klassischen (zweiwertigen) Aussagenkalküls. (III 5.)