Sur une classe d'opérations sur les ensemble de points . (Q568206)

Ist \(H\) eine ebene Menge, so bezeichnen wir mit \(\Gamma _P(H)\) die Menge aller reellen Zahlen \(a\), für die die Menge aller Punkte des Durchschnitts von \(H\) mit der Geraden \(x=a\) die Eigenschaft \(P\) besitzt. Es sei das folgende Problem gestellt: ist \(F\) eine Familie von Punktmengen und \(P\) eine Eigenschaft der Mengen reeller Zahlen, so ist die Familie \(\Phi \) aller Mengen \(\Gamma _P(H)\) zu bestimmen, wo \(H\) eine Menge der Familie \(F\) ist. Der Zweck der Note ist, über die bekannten Lösungen dieses Problemes zu berichten, wenn man die Eigenschaft \(P\) und die Familie \(F\) spezialisiert, sowie einige seither noch nicht studierten Fälle zu behandeln. Verf. setzt nacheinander voraus, daß\ \(F\) die Familie der abgeschlossenen Mengen, der Mengen \(F_\sigma,G_\delta \), der \(B\)-meßbaren, der analytischen Mengen sei. Er betrachtet folgende Eigenschaften \(P\): nicht leer zu sein, ein einziges Element, mehr als ein Element, unendlich viele Elemente, über abzählbar viele Elemente zu enthalten, nicht nach oben beschränkt, nicht wohlgeordnet zu sein, eine größte Zahl zu enthalten, in sich dicht, nicht separiert, abgeschlossen oder perfekt zu sein.