Weitere Beiträge zum Infinitesimalkalkül der Matrizen. (Q568272)

Es handelt sich zunächst um den Ausbau der zum Schluß\ der vorangehenden Arbeit (1931; F. d. M. 57\(_{\text I}\), 122) begonnenen Theorie des Produktintegrals im \textit{Lebesgue}schen Sinne. Wurde dieses bisher als Grenzwert des Produktintegrals über eine Folge approximierender Treppenmatrizen erklärt, so wird jetzt auch eine direkte Darstellung als Grenzwert eines Produkts entwickelt. Es folgen verschiedene Formeln, die im Sonderfall stetiger Matrizen auf Grund von Differentiationseigenschaften leicht hervorgehen, hier aber in erweiterter Bedeutung gewonnen werden, so eine Formel für das Produktintegral einer(transformierten) Differenz \(T^{-1}(A-B)T\), wo \(T=\operatornamewithlimits {\overset {\kern 2pt\frown } \int }\limits _p^{\kern 2pt x} Adx+E\), die nachher auf die Differentiation eines Produktintegrals nach einem Parameter angewendet wird. Schließlich wird das ``gemischte Doppelintegral'' \(\operatornamewithlimits {\overset {\kern 2pt\frown } \int } \limits _{y_0}^{\kern 2pt y_1}\left (\int \limits _{x_0}^{x_1}P(x,y)\,dx\,dy +E\right )\) über ein Rechteck erstreckt, in ähnlicher, aber allgemeiner Weise eingeführt, wie schon in einer früheren Arbeit des Verf. (1928; F. d. M. 54, 766), und das zugehörige Gegenstück des \textit{Green}schen Satz entwickelt. Besondere Betrachtung des integrablen Falles (Verschwinden des \textit{Riemann}schen Krümmungstensors), der wieder insbesondere die Produktintegration in der komplexen \(z\)-Ebene (\(z=x+iy)\) einschließt.