Ein Produktintegral mit Stetigkeitssprung. (Q568273)

In Analogie zu den in der Funktionentheorie bekannten Integralen der Form \(\botsmash { \int _C\frac {f(t)\,dt}{x-t}}\)\quad (\(f(t)\) auf der einfach geschlossenen, rektifizierbaren Kurve \(C\) lediglich beschränkt und meßbar) wird das Produktintegral \( \operatornamewithlimits {\overset {\kern 4pt\frown } \int }_C \frac {M(t)\,dt}{x-t}+E\) Untersucht. Es definiert eine im Innern und eine im Äußern von \(C\) reguläre Funktionsmatrix \(F_i(x)\) bzw. \(F_a(x)\). Es werden Ausdrücke für den ``Sprung'' (im Produktsinne) \(F_a(z)F_i^{-1}(z)\) gegeben (\(F_i(z)\) bzw. \(F_a(z)\) Randwerte von innen bzw. in außen), sowie für die (fast überall existierenden) Randwerte selbst. Besondere Betrachtung des Falls, daß\ \(M(t)\) die Randwerte einer im Innern regulären Matrix \(M(x)\) darstellt. Doch gibt die Funktionaltransformation \( \frac 1{2\pi i}\operatornamewithlimits {\overset {\kern 4pt\frown } \int }_C\frac {M(t)}{t-x}\,dt+E\) hier \textit{nicht} analog der \textit{Cauchy}schen Integralformel die Identität.