Zum Eliminationsproblem der Potenzreihenideale. (Q568327)

Es wird eine Arithmetik des Ringes der konvergenten Potenzreihen in \(n\) Veränderlichen mit komplexen Koeffizienten aufgestellt. In diesem Ring hat, wie sich zeigt, jedes Ideal eine endliche Basis, so daß\ die Ideale in Primärideale zerfallen, deren zugehörige Primideale jeweils eindeutig bestimmt sind. Die Menge der gemeinsamen Nullstellen eines Systems \[ P_i(x_1,\dots,x_n)\qquad (i=1,\dots,m)\tag{1} \] ist also die Vereinigungsmenge der Nullstellenmannigfaltigkeiten endlich vieler Primideale. Für ein gegebenes Primideal wird nun die Nullstellenmannigfaltigkeit auf \textit{algebraischem} Wege angegeben; sie erweist sich als irreduzibles analytisches Gebilde, dessen Dimension mit der des Primideals übereinstimmt. Damit ist ohne Benutzung funktionentheoretischer Hilfsmittel der \textit{Weierstraß}sche Satz bewiesen, daß\ die gemeinsamen Nullstellen des Systems (1) in der Umgebung des Nullpunkts eine endliche Anzahl durch den Nullpunkt gehender irreduzibler analytischer Gebilde darstellen.