Über Riemanns Nachlaß\ zur analytischen Zahlentheorie. (Q568395)

Das Wesentliche dieser Arbeit ``aus \textit{Riemann}s Nachlaß'' dürfte des Verf. eigene Leistung sein; der Bericht ist also mehr mathematische Forschung als Bearbeitung historischer Quellen. Das interessante Ergebnis ist eine semikonvergente Entwicklung von \(\zeta (s)\) für \(\sigma =\frac 12\): \[ e^{i\vartheta }\zeta (\tfrac 12+it)=2\sum _1^m\frac {\cos {(\vartheta - t\log n)}}{\sqrt {n}}+(-1)^{m-1}\left (\frac t{2\pi }\right )^{-\frac 14}R(t), \] wo \(R\) eine semikonvergente Potenzreihe nach \(t^{-\frac 14}\) bedeutet. Verf. zeigt noch, wie eine ähnliche Entwickelung für beliebiges \(\sigma \) herzuleiten wäre und macht glaubhaft, daß\ sich auch die allgemeine approximative Funtionalgleichung mit ergibt. Die Methode beruht auf einer Auswertung des Integrals \(\int (e^{-\pi ix^2+2\pi iux})(e^{\pi ix}-e^{-i\pi x})^{-1}\,dx\) (auf einem geeigneten Integrationsweg mittels der Sattelpunktmethode), zeigt aber auch sonst nach den Worten des Verf. ``wie stark R.s analytische Technik war''. Verf. betont die Wichtigkeit der obigen semikonvergenten Entwickelung für die numerische Berechnung der Nullstellen, ein Hinweis, der später \textit{Titchmarsh} praktisch bestätigt wurde. Anwendungen der semikonvergenten Entwickelung auf die theoretische Diskussion der Nullstellen (z. B. die Anzahl \(N_0(P)\) der Nullstellen auf \(\sigma =\frac 12\) mit \(|t|<T\)) ergeben kein Resultat, das sich nicht auch aus der approximativen Funktionalgleichung herleiten ließe.\quad (I 1.)