Remarks on a problem of Toeplitz. (Q568418)

Sei \(M\{Q(x)\}\) das Maximum für den absoluten Betrag der Form \[ Q_m(x)= \sum _{i_1,\dots,i_m=1}^{n} a_{i_1\dots i_m} x_{i_1}\dots x_{i_m} \] für \(|x_i|\leq 1\). Betrachtet werden ``normierte'' Formen \(Q_m(x)\), deren Koeffizienten \(a_{i_1\dots i_m}\) symmetrisch sind und der Bedingung \[ \sum _{}^{} |a_{i_1\dots i_m}| =1 \] genügen. Für diese Formen sei nun \(\varphi _m(n)\) das Maximum von \(\frac {1}{M\{Q(x)\}}\). \textit{Toeplitz} bewies, daß\ \(\varphi _2(2)= \sqrt {2}\) und \(\varphi _n(n)\leq n\) ist. Für den Allgemeinen Fall zeigen die Verf. als eine leichte Folgerung ihrer früheren Arbeit über die absolute Konvergenz von \textit{Dirichlet}schen Reihen (1931; JFM 57.0266.*), daß\^^M \[ \varphi _m(n)= O \left (n^{\frac {m-1}{2}}\right ) \quad \text{und}\quad \{\varphi _m(n)\}^{-1}= O \left (n^{-\frac {m-1}{2}}\right ) \] ist.