Détermination de la forme asyptotique de l'approximation des fonctions par les polynômes de M. Bernstein. (Q568521)

Es handelt sich um die Kovergenz der einer beliebigen Funktion \(f(x)\) zugeordneten \textit{Bernstein}schen Polynome \[ B_nf(x) = \sum _{k=0}^n \binom {n}{k} x^k(1-x)^{n-k}f\Bigl (\frac {k}{n}\Bigr ).\tag{1} \] Bekannt ist \(\lim \limits _{n\to \infty }(f(x) - B_nf(x)) = 0\quad (0<x<1)\); die Verf. folgert hieraus \[ \lim _{n\to \infty } n(f(x)-B_nf(x)) = -\frac {x}{2}(1-x)f^{\prime \prime }(x), \] vorausgesetzt, daß \(f(x)\) eine in \(0<x<1\) stetige zweite Ableitung hat. Zum Beweis wird (1) auf eine Funktion zweier Veränderlichen \(\varphi (x,y)\) angewendet, die in geeigneter Weise spezialisiert wird.