Complément à l'article de E. Voronovskaya ``Détermination de la forme asymptotique de l'approximation des fonctions par les polynômes de M. Bernstein''. (Q568522)
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scientific article; zbMATH DE number 2553075
| Language | Label | Description | Also known as |
|---|---|---|---|
| English | Complément à l'article de E. Voronovskaya ``Détermination de la forme asymptotique de l'approximation des fonctions par les polynômes de M. Bernstein''. |
scientific article; zbMATH DE number 2553075 |
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Complément à l'article de E. Voronovskaya ``Détermination de la forme asymptotique de l'approximation des fonctions par les polynômes de M. Bernstein''. (English)
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1932
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Das Ergebnis der vorstehend besprochenen Arbeit wird dadurch verschärft, daß die Differenz \(B_nf(x) - f(x)\) nach den Polynomen \[ S_{r,n}(x) = \sum _{k=0}^n \biggl ( \frac {k}{n} - x\biggr )^r\binom {n}{k} x^k(1-x)^{n-k} \] entwickelt wird. Daraus folgt, Existenz und Stetigkeit der vorkommenden Ableitungen vorausgesetzt, in \(0<x<1\) \[ \lim _{n\to \infty }n^i\biggl (B_n f(x) - \sum _{r=0}^{2i-1} \frac {S_{r,n}(x)\cdot f^{(r)}(x)}{r!}\biggr ) = \Bigl (\frac {x(1-x)}2\Bigr )^i\frac {f^{(2i)}(x)}{i!}. \]
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