Über gewisse Interpolationssysteme, die zu den Jacobischen und Laguerreschen Abszissen gehören. (Q568524)

Es seien \(x_1^{(n)}, x_2^{(n)}, \dots, x_n^{(n)}\) die Nullstellen des \(n\)-ten \textit{Jacobi}schen Polynoms \(P_n^{(\alpha,\beta )}(x)\). Es soll eine beliebige stetige Funktion \(f(x)\) im Intervall \((-1,1)\) durch Polynome \(X_n(x)\) approximiert werden, die die folgenden Eigenschaften haben: \(X_n(x)\) hat den Grad \(2n-1\), \(X_n(x_i^{(n)}) = f(x_i^{(n)})\), \(|X_n^{\prime }(x_i^{(n)})|<X\), wobei \(X\) nicht von \(n\) oder \(i\) abhängt. (Diese Einschränkung der Steilheit der Polynomkurven ist notwendig, weil sonst gleichmäßige Konvergenz der \(X_n(x)\) gegen \(f(x)\) bei beliebigem \(f(x)\) nicht zu erreichen ist.) Verf. zeigt, daß dann im Inneren von \((-1,1)\) gleichmäßig \(\lim \limits _{n\to \infty } X_n(x) = f(x)\) gilt, daß ferner \(-1<\alpha <0\) notwendig und hinreichend für \(\lim \limits _{n\to \infty } X_n(1)=f(1)\) ist, und daß in diesem Fall sogar \(\lim \limits _{n\to \infty } X_n(x) = f(x)\) gleichmäßig im Intervall \(-1<x\leq +1\) behauptet werden kann. (Ein entsprechendes Ergebnis folgt für die Stelle \(x=-1\).) - Beim Beweis wird wesentlich eine Abschätzung von \textit{Darboux} für die \(P_n^{(\alpha,\beta )}(x)\) benutzt, mit deren Hilfe die Größenordnung der ``Grundpolynome'' (vgl. \textit{Fejér}, vorstehendes Referat) untersucht wird. Die Behandlung der Randpunkte erfordet noch eine von \textit{Rau} herrührende Abschätzung \[ \bigl |P_n^{(\alpha, \beta )}(x)\bigr | \leq {\mathfrak A}_n^{\max (\alpha,-\frac 12)} \] (1929; F. d. M. \(55_{\text{II}}\), 796). Die Sätze und mit einigen Änderungen auch die Beweise lassen sich auf den Fall der \textit{Laguerre}schen Abszissen und das Intervall \((0,\infty )\) übertragen. Hier ist in jedem positiven endlichen Intervall gleichmäßig \(\lim \limits _{n\to \infty } X_n(x)=f(x)\). Dafür, daß \(\lim \limits _{n\to \infty } X_n(0)=f(0)\), ist \(-1<\alpha <0\) notwendig und hinreichend. In diesem Fall gilt die Grenzwertgleichung sogar in jedem nichtnegativen Intervall gleichmäßig. Die Gleichung \(\lim \limits _{n\to \infty }X_n(x)=f(x)\) ist auch für die \textit{Hermite}schen Abszissen gleichmäßig in jedem endlichen Intervall gültig; doch läßt sich dies nicht aus dem Satz über die \textit{Laguerre}schen Abszissen folgern, sondern bedarf eines gesonderten Beweises.