Über die Konstruktion der Interpolationsformeln. (Q568526)

Es sei \(|a_{\mu r}|^{(k)}\) die Determinante der Ordnung \(k\) mit den Elementen \(a_{\mu \nu }\), und \(\left |\begin{matrix} a_{\mu \nu }\\ b_{\nu } \end{matrix} \right |^{(k)}\), die Determinante, die man erhält, indem man die Elemente der letzten Zeile durch \(b_{\nu }\) ersetzt. Verf. benutzt die Darstellung \[ \begin{gathered} f(x) = \sum _{k=1}^n \frac {\left |\begin{matrix} \psi (x_{\mu },x_{\nu })\\ f(x_{\nu })\end{matrix} \right |^{(k)} \left |\begin{matrix} \psi (x_{\mu },x_{\nu })\\ \psi (x,x_{\nu })\end{matrix} \right |^{(k)}}{|\psi (x_{\mu },x_{\nu }|^{(k-1)} |\psi (x_{\mu },x_{\nu })|^{(k)}} + R_n(x),\\ R_n(x) = \frac {1}{|\psi (x_{\mu },x_{\nu })|^{(n)}}\left | \begin{matrix} \psi (x_1,x_1)\dots \psi (x_1,x_n)\psi (x_1,x)\\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ \psi (x_n,x_1)\dots \psi (x_n,x_n)\psi (x_n,x)\\ f(x_1)\dots f(x_n)\phantom {\dots } f(x)\end{matrix} \right | \end{gathered} \] mittels einer in ihren Argumenten symmetrisch gebauten Funktion \(\psi \), wobei \(|\psi (x_{\mu },x_{\nu })|^{(k)}\) für alle \(k\) ungleich Null ist. Im Falle, daß die zu interpolierende Funktion \(f(x)\) eine lineare Kombination von Funktionen \(\psi (x,x_i)\) ist, verschwindet \(R_n(x)\). Durch den Ansatz \(\psi (\xi,\eta )=\dfrac {1}{\xi +\eta }\) gelangt Verf. zu einer neuen Interpolationsformel; im speziellen betrachtet Verf. den Fall analytischer Funktionen. Geeignete Annahmen über \(\psi (\xi,\eta )\) führen zur \textit{Newton}schen, \textit{Taylor}schen bzw. \textit{Lagrange}schen Interpolationsformel. (IV 4.)