On the uniform convergence of the trigonometrical series. (Q568551)

Es handelt sich um die zuerst von \textit{L. Fejér} behandelte Frage, unter welchen Umständen aus der \(C\)-Summierbarkeit einer Potenzreihe \[ f(x) = \sum a_nz^n\quad (\text{Konvergenzradius }\varrho =1) \] am Rande ihres Konvergenzkreises auf deren Konvergenz daselbst geschlossen werden kann (vgl. insbesondere \textit{Hardy-Littlewood}, 1923; F. d. M. 49, 232 (JFM 49.0232.*)-233). Verf. beweist dazu: 1) Ist \(G\) eine offene Menge von Werten \(e^{i\theta }\), und gilt \[ \mathfrak R\{f^{\prime }(re^{i\theta })\} = o\Bigl (\frac {1}{(1-r)\log (1-r)}\Bigr )\quad \text{für } r\to 1 \] gleichmäßig in jedem abgeschlossenen Teil von \(G\), ferner \[ \int _0^{2\pi } |\mathfrak R \{f^{\prime }(re^{i\theta })\}|d\theta = o\Bigl (\frac {1}{1-r}\Bigr )\quad \text{für } r\to 1, \] dann konvergiert die Potenzreihe (oder ihre reelle oder imaginäre Komponente) gleichmäßig in jedem abgeschlossenen Teil von \(G\), in dem sie gleichmäßig nach einem \(C\)-Verfahren summierbar ist. 2) Es sei \(\mathfrak R \{f(z)\}\) durch ein \textit{Poisson}-Integral über den Einheitskreis darstellbar. Gilt dann für eine offene Menge \(G\) von Werten \(e^{i\theta }\) \[ \frac {\partial \mathfrak R\{f(re^{i\theta })\}}{\partial \theta } = o\frac {1}{(1-r)\log (1-r)}\quad \text{für } r\to 1 \] gleichmäßig in jedem abgeschlossenen Teil von \(G\), dann streben die Differenzen zwischen den Teilsummen der Potenzreihe (oder ihrer reellen oder imaginären Komponente) und den entsprechenden \(C\)-Mitteln irgendeiner festen Ordnung in jedem abgeschlossenen Teil von \(G\) gleichmäßig gegen Null. Die Voraussetzung dieses Satzes ist insbesondere erfüllt, wenn die Randfunktion \(\mathfrak R\{f(e^{i\theta })\}\) in jedem abgeschlossenen Teil von \(G\) gleichmäßig die \textit{Dini-Lipschitz}sche Bedingung erfült. Als Anwendung wird schließlich noch eine Bedingung für die gleichmäßige Konvergenz der Potenzreihe auf \(|z|=1\) gegeben, die an das durch \(\int \limits _0^z f(t)\,dt\) vermittelte Bild des Einheitskreises anknüpft. (IV 4.)