Sur une mode de convergence de l'intégrale de Dirichlet. (Q568556)

Verf. zeigt: Es gibt eine mit \(2\pi \) periodische, stetige Funktion \(F(x)\), für die das \textit{Dirichlet}sche Integral \[ J_n(x) = \frac {1}{\pi }\int \limits _{-\varepsilon _1}^{+\varepsilon _2} F(x+\alpha ) \frac {\sin n\alpha }{2\sin \frac {\alpha }{2}}\,d\alpha \] in \(0\leq x \leq 2\pi \) gleichmäßig gegen \(F(x)\) konvergiert, wenn \(n\to \infty \) strebt, während jedes der Integrale \[ J_n^{-}(x) = \frac {1}{\pi }\int \limits _{-\varepsilon _1}^0 F(x+\alpha )\frac {\sin n\alpha }{2\sin \frac {\alpha }{2}}\,d\alpha, \quad J_n^+(x) = \frac {1}{\pi } \int \limits _0^{\varepsilon _2} F(x+\alpha ) \frac {\sin n\alpha }{2\sin \frac {\alpha }{2}}\,d\alpha \] divergiert und fast überall in \(0\leq x\leq 2\pi \) \[ \varlimsup _{n\to \infty } J^{-}_n(x) = \varlimsup _{n\to \infty }J_n^+(x) = +\infty,\quad \varliminf _{n\to \infty }J_n^{-}(x) = \varliminf _{n\to \infty }J_n^+(x) = -\infty \] gilt. Als Anwendung wird gezeigt, wie sich aus einer Funktion \(F(x)\) der genannten Art in einfacher Weise eine stetige Funktion bilden läßt, deren \textit{Fourier}reihe eine Divergenzstelle aufweist.