Sur les suites de fonctions analytiques bornées dans un domaine. (Q568583)

Unter dem Konvergenzfaktor einer Folge von (zunächst ganz beliebigen) Funktionen \(f_n(z)\) \((n=0,1,2,\dots )\) in einem Gebiet \(D\) der komplexen Ebene versteht Verf. die obere Grenze \(\lambda \) der Zahlen \(l\), für die \(l^nf_n(z)\) gleichmäßig beschränkt ist in jedem abgeschlossenen Teilbereich von \(D\). An anderer Stelle (Math. Ann. 107 (1932), 68-82; JFM 59.0249.*) hat er gezeigt, daß \(\lambda \geq 1\) ist, wenn \(f_n(z)\) ein Polynom \(n\)-ten Grades und die Folge in jedem Punkte von \(D\) beschränkt ist. Hier wird nun zunächst durch ein Beispiel belegt, daß für die Gültigkeit des Satzes die Beschränktheitsvoraussetzung allein nicht hinreicht, auch wenn die \(f_n(z)\) als analytisch angenommen werden. Verf. gibt nämlich sogar eine Polynomfolge an, die überall in der Ebene gegen \(0\) strebt, und deren Konvergenzfaktor in \(|z|<r\) bei beliebig kleinem \(r\) gleich \(0\) ist. Dagegen wird gezeigt, daß, wenn \(f_n(z)\) eine Folge analytischer Funktionen ist, die in jedem Punkt von \(D\) beschränkt ist, der Konvergenzfaktor entweder \(0\) oder mindestens \(1\) ist. Der Beweis gelingt auf Grund des früheren Satzes über Polynomfolgen, indem \(f_n(z)\) in einem beliebigen Kreis aus \(D\) durch den \(n\)-ten Abschnitt seiner \textit{Taylor}reihe ersetzt wird, dessen Abweichung von \(f_n(z)\) abgeschätzt wird auf Grund der Veraussetzung, daß der Konvergenzfaktor nicht \(0\) ist.