Die Inversoren. (Q568584)

Eine analytische Abhängigkeit zwischen den komplexen Veränderlichen \(x\) und \(y\) sei durch \[ \Phi (x,y)=0\tag{1} \] gegeben. Ist \[ \Phi (0,0)=0, \quad \frac {d\Phi }{dx}(0,0)\neq 0, \quad \frac {d\Phi }{dy}(0,0)\neq 0, \] so seien die Auflösungen von (1) \[ y=f(x)=\sum _{i=1}^\infty \frac {a_i}{i!}x^i,\quad a_1\neq 0, \quad x=g(y)=\sum _{k=1}^\infty \frac {b_k}{k!}y^k,\quad b_1\neq 0.\tag{2} \] Mit Hilfe der abkürzenden Bezeichnungen \[ \frac {d^if(x)}{dx^i} = f_i,\quad \frac {d^ky}{dy^k}=g_k\quad (f_1g_1=1) \] definiert Verf. als Inversoren die Funktionen: \[ I_0 = \frac 12\log f_1=-\frac 12\log g_1 \] (da im Ursprung \(f_1\neq 0\) ist, läßt sich der Logarithmus in der Umgebung des Ursprungs eindeutig festlegen), \[ I^{(1)}=\frac 12 f_2f_1^{-\frac 32} \] und die Inversoren höherer Ordnung durch \[ I^{(n)} = \frac {dI^{(n-1)}}{dx}f_1^{-\frac 12}. \] Mit Hilfe des durch \[ t=\int \limits _0^x f_1^{\frac 12}\, dx = \int \limits _0^y g_1^{\frac 12}dy \] definierten Parameters \(t\) lassen sich die Inversoren auch als Funktionen von \(t\) schreiben, und es gilt \[ y=\varphi (t)=\int \limits _0^te^{I_0(\tau )}d\tau,\quad x=\psi (t)=\int \limits _0^t e^{-I_c(\tau )}d\tau \] en einer gewissen Umgebung des Ursprungs. Das System (2) kann mit Hilfe der Inversoren auf folgende Gestalt gebracht werden (aus der sich auch die Bezeichnung erklärt): \[ e^{-I_0}y = \sum _{n=1}^\infty \frac {P_n}{n!}(e^{I_0}x)^n,\quad e^{I_0}x=\sum _{n=1}^\infty \frac {Q_n}{n!} (e^{-I_0}y)^n. \] Hier sind die \(P_n\) sukzessive zu bestimmende Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten der \(I_1, I_2, \dots, I_{n-1}\): \[ P_{\nu } = P_{\nu }(I_1,I_2,\dots,I_{n-1}),\quad \text{wobei } I_{\nu }=I^{(\nu )} (x=0) \] gesetzt ist, und die \(Q_n\) sind durch \[ Q_n=P_n(-I_1,-I_2,\dots,-I_{n-1}) \] gegeben.