Sur les points singuliers d'une fonction analytique définie par l'intégrale \(\int \limits _0^\infty f(t)z^tdt\). (Q568601)

In Fortführung seiner Untersuchungen über die Singularitäten analytischer Funktionen (vgl. Recueil math. Moscou 26 und Nachr. des Warschauer polyt. Instituts für 1914-1915) stellt sich Verf. zum Ziel, eine einfache Beziehung zwischen den singulären Stellen von \[ \Phi (z) = \int \limits _0^\infty f(t)z^tdt\quad \text{und}\quad F_\varphi (z) = \sum _{n=0}^\infty z^n\int \limits _0^\infty \frac {f(t)}{\Gamma (t+2)}(ne^{i\varphi })^{t+1}dt \] festzustellen. Es wird dabei vorausgesetzt daß \(f(t)\) \textit{Riemann}-integrierbar ist in jedem endlichen Intervall \(0\leq t \leq l\) und daß der Konvergenzradius \(r\) des ersten Integrals \(\geq 1\) ist; \(\varphi \) bedeutet einen reellen Parameter. Der Funktion \(F_{\varphi }(z)\) wird zunächst die Form \[ F_{\varphi }(z) = \int \limits _0^\infty \frac {f(t)}{\Gamma (t+2)}e^{i(t+1)\varphi } dt\sum _0^ \infty n^{t+1}z^n \] gegeben und es wird dann \[ \frac {1}{\Gamma (t+2)}\sum _0^\infty n^{t+1}z^n\quad \text{in}\quad \sum _{k=-\infty }^{+\infty }\Bigl ( \log \frac {1}{z} + 2k\pi i\Bigr )^{-t-2} \] umgeformt, so daß endgültig die Darstellung \[ F_{\varphi }(z) = e^{i\varphi }\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\Bigl (\log \frac {1}{z} + 2k\pi i\Bigr )^{-2}\Phi \biggl (\frac {e^{i\varphi }}{\log \frac {1}{z} + 2k\pi i}\biggr ) \] entsteht. Durch die Substitution \(z=e^{-u}\) geht diese Funktion in \[ \Theta _{\varphi }(u) = e^{i\varphi }\sum _{-\infty }^{+\infty } (u + 2k\pi i)^{-2}\Phi \biggl (\frac {e^{i\varphi }}{u+2k\pi i}\biggr ) \] über. Da zwei verschiedene Glieder dieser Reihe keine gemeinsame Singularität haben können, so schließt Verf. daraus, daß diese Singularitäten sich nicht gegenseitig ``aufheben'' können, so daß jede singuläre Stelle von \(\Theta _{\varphi }(u)\) eine solche von \((u+2k\pi i)^{-2}\Phi \Bigl (\dfrac {e^{i\varphi }}{u+2k\pi i}\Bigr )\) bei passender Wahl von \(k\) sein muß und umgekehrt. Folglich sind die singulären Stellen von \(\Theta _{\varphi }(u)\) durch \[ u = -2k\pi i\quad \text{oder}\quad u = -2k\pi i+\frac {1}{\alpha } e^{i\varphi } \] gegeben, wo \(k\) eine beliebige ganze Zahl bedeutet und \(\alpha \) die von null verschiedenen singulären Stellen von \(\Phi (z)\) durchläuft. Dieser Schluß scheint dem Ref. unbegründet, da eine unendliche Reihe \(\sum f_k(u)\) Singularitäten haben kann, die keinem ihrer Glieder angehören. Die geometrischen Betrachtungen, durch welche Verf. beweist, daß \(F_{\varphi }(z)\) ``im allgemeinen'' nur eine singuläre Stelle auf der Peripherie ihres Konvergenzkreises hat, sind ebenfalls nicht stichhaltig.