Sur une limitation du module de la dérivée des fonctions holomorphes. (Q568620)

Beweis des folgenden Satzes: \(w=\varphi (z)\) sei holomorph im Innern des Kreises \(|z-a|<R'\). \(A'\) und \(A\) seien die obern Schranken von \(R(\varphi (z))\) in den Kreisen \[ |z-a|<R' \] resp. \(|z-a|\leq R<R'\). \(M\) sei das Maximum von \(|\varphi '(z)|\) für \(|z-a|\leq R\). Dann gilt \[ \frac {M}{A'-A}\leq \frac {2R'(R'+R)}{(R'-R)^3}. \] Das Gleichheitszeichen gilt nur für jene Funktionen, welche die konforme Abbildung des Kreises \(|z-a|<R'\) auf die Halbebene \(R(w)<A'\) vermitteln.