Lückensätze und Überkonvergenz bei zweifachen Potenzreihen. (Q568623)

Den Inhalt der Arbeit faßt die Einleitung des Vefr. am prägnantesten zusammen: ``Die vorliegende Arbeit setzt sich das Ziel, den Hadamardschen Lückensatz und seine Vertiefungen, insbesondere die Ostrowskische, Überkonvergenztheorie auf Potenzreihen \[ f(x,y) = \sum _{\mu, \nu + 0}^\infty a_{\mu \nu }x^\mu y^\nu \] zweier komplexen Veränderlichen zu übertragen. Diese Übertragung gelingt leicht bei denjenigen Sätzen aus dem genannten Ideenkreis, welche sich durch Reihentransformation beweisen lassen. Zur Übertragung der übrigen Sätze erweist sich als brauchbar eine Methode, die auch sehr durchsichtige Beweise für die in Rede stehenden Sätze bei einfachen Potenzreihen liefert, und die eben durch den Übergang zu mehrfachen Potenzreihen nahegelegt wird. Sie besteht im wesentlichen darin, daß zu einer zu untersuchenden \(n\)-fachen Potenzreihe eine Potenzreihe von \((n+1)\) Veränderlichen konstruiert wird, deren Verhalten am Rande ihres Bereichs absoluter Konvergenz Rückschlüsse zuläßt auf das der ursprünglichen Reihe am Rande ihres Bereichs absoluter Konvergenz. Die Konstruktion wird dabei so durchgeführt, daß der Bereich absoluter Konvergenz der \((n+1)\)-fachen Reihe unter den hier interessierenden Voraussetzungen eine Form besitzt, die nach einem leicht zu bewiesenden Satz von Faber das Verhalten der Reihe am Rande desselben ohne weiteres zu beurteilen gestattet. Die zur Behandlung des in Rede stehenden Problems auf Grund der angedeuteten Methoden erforderlichen Hilfsmittel werden im ersten Teil der Arbeit zusammengestellt. \(\S \) 1 enthält neben einem kurzen Bericht über die grundlegenden Eigenschaften des Bereichs absoluter Konvergenz einer Potenzreihe zweier Veränderlichen eine für das Folgende geeignete Fassung des bereits genannten Satzes von Faber (Math. Ann. 61 (1905), 289-324 (F. d. M. 36, 483 (JFM 36.0483.*)), insbesondere S. 323). In den \(\S \S \) 2 und 3 werden zwei Reihentransformationen untersucht, die den Typus allgemeiner \(E\)-Transformationen haben und die im folgenden fortwährend benützt werden. Das Ziel des zweiten Teils ist zunächst die Aufstellung eines dem Hadamardschen Lückensatz analogen Satzes bei zweifachen Potenzreihen (\(\S \) 5), sodann eine möglichst weitgehende Verschärfung dieses Satzes (\(\S \) 6). Die Grundgedanken der dabei zur Verwendung kommenden Methode werden, soweit sie neu sind, in \(\S \) 4 an einfachen Potenzreihen auseinandergesetzt, da sie dort am klarsten hervortreten und überdies eine neue Verschärfung des Fabryschen Lückensatzes liefern. Der dritte Teil ist der Ostrowskischen Überkonvergenztheorie gewidmet. In \(\S \) 7 werden zunächst wieder die Verhältnisse bei Funktionen einer Veränderlichen auseinandergesetzt, insbesondere wird ein neuer, sehr einfacher Beweis für die Umkehrung des Überkonvergenzsatzes gegeben. Die \(\S \S \) 8-10 endlich enthalten die Übertragung der Überkonvergenztheorie auf zweifache Potenzreihen.''