On the zeros of certain polynomials related to Jacobi and Laguerre polynomials. (Q568668)

Verf. betrachtet die Polynome \[ \begin{aligned} & I_n(x,\alpha, \beta ) \equiv x^{1-\alpha }(1-x)^{1-\beta } \frac {d^n}{dx^n}(x^{n+\alpha -1}(1-x)^{n+\beta -1}), \tag{1} \\ & L_n(x,\alpha ) \equiv x^{1-\alpha } e^x \frac {d^n}{dx^n} (e^{-x}x^{n+\alpha -1}) \tag{2} \end{aligned} \] für \(\alpha, \beta \leq 0\). Unter Benutzung einer Methode von \textit{Fujiwara} (1925; F. d. M. 51, 99 (JFM 51.0099.*)) beweist er den Satz: Ist \(p\) eine positive ganze Zahl, für die \(0 < \alpha + p \leq 1\), so hat \(L_n(x, \alpha )\) für \(n \geq p\) genau \(n-p\) Nullstellen im Intervall \((0, \infty )\). Ist \(\alpha + p = 0\), so kommt noch eine \(p\)-fache Nullstelle im Nullpunkt hinzu; Für die Polynome (1) wird bewiesen: Sind \(p\) und \(q\) ganze Zahlen, für die \(0 < \alpha + p \leq 1,\;0<\beta + q \leq 1\) ist, dann hat \(I_n(x, \alpha, \beta )\) für \(n \leq p+q+1\) genau \(n-p-q\) Nullstellen im Intervall \((0,1)\). Ist \(\alpha + p = 1\), so kommt eine \(p\)-fache Nullstelle im Nullpunkt hinzu. ist \(\beta + q = 1\), so kommt eine \(q\)-fache Nullstelle im Punkt \(x=1\) hinzu. Der Beweis ist elementar. (Vgl. auch \textit{Sansone} und \textit{Levi}, 1932; F. d. M. \(\mathbf {58}_I\), 461, 462.)