Asymptotic dipole expansions for small horizontal angles. (Q568702)

Es handelt sich um die Berechnung der \textit{Sommerfeld}schen Integrals \[ V = k_2^2 \int _{-\infty }^{+\infty } \frac {H_0^1(r \tau ) e^{-lw} \tau }{k_2^2l + k_1^2m} d \tau, \] wo \[ w=h+z, \quad l = \sqrt {\tau ^2 - k_1^2}, \quad m = \sqrt {\tau ^2 - k_2^2} ; \] \(h\) ist die Höhe des vertikalen Dipols und die Konstanten \(k_1, k_2\) und \(s = \frac {k_1 k_2}{\sqrt {k_1^2 + k_2^2}}\) liegen im ersten Quadranten der komplexen Ebene mit \(k_1\) auf der reellen Achse. Der Integrationsweg ist so gewählt, daß\ er oberhalb von \(\tau = -k_1, \tau = 0\) und unterhalb von \(\tau = k_1\) verläuft. Die Berechnung des Integrals erfolgt durch Deformation des Integrationsweges in zwei Schleifen um \(k_1\) (mit \(\mathfrak {R}(l) < \varepsilon \)) und um \(k_2\) (mit \(\mathfrak {R}(m) < \varepsilon \)) sowie in einen kleinen Kreis um \(\tau = s\), die Nullstelle des Nenners. Es werden nur die Beiträge der beiden ersten Integrale untersucht (unter Vermeidung der \textit{Sommerfeld}schen Annäherung \(k_2-s \sim k_2-k_1\)).