Zur Theorie der Zetareihen von Poincaré. (Q568713)

Die von \textit{Poincaré} zur analytischen Darstellung der ``zetafuchsschen Funktionen'' angege\-be\-nen Reihen konvergieren nicht mehr absolut, wenn die Wurzeln \(\omega \) der charakteristischen Gleichungen derjenigen homogenen linearen Substitutionen in \(p\) Veränderlichen, welche den Fundamentalsubstitutionen der \textit{Fuchs}schen Gruppe entsprechen, nicht alle auf dem Einheitskreis liegen. Verf. spricht die Vermutung aus, daß\ die Konvergenz auch in solchen Fällen (und zwar durch zusätzliche Glieder in Form von Integralen) herbeigeführt werden kann, und begründet sie dadurch, daß\ er zeigt, wie man in dem einfachen Fall \(y = x^s\)\ (\(s\)\ beliebig komplex;\ \(\omega = e^{2\pi i s};\;p=1\)) mittels der \textit{Cauchy}schen Integralformel zu einer Reihenentwicklung gelangen kann, die nicht nur für \(|\omega | = 1\), wie die entsprechende \textit{Poincaré}sche Zetareihe, sondern im Kreisring \(r < |\omega | < R\) gültig ist.