Über beschränkte automorphe Funktionen. (Q568717)

Verf. betrachtet einfach zusammenhängende \textit{Riemann}sche Flächen, deren Verzweigpunkte alle über den Punkten \(0, 1, \infty \) liegen und von unendlich hoher Ordnung sind, und die sonst keine Randstellen besitzen. Ihre universelle Überlagerungsfläche ist die Modulfläche, und dementsprechend gehört zu jeder solchen \textit{Riemann}schen Fläche \(F\) eine Untergruppe \(\mathfrak {G}\) der Modulgruppe. Bildet man die obere Halbebene durch die Modulfunktion, und dann die entstandene Modulfläche durch die Uniformisierende von \(F\), falls diese vom hyperbolischen Typus ist, wieder auf dem Einheitskreis ab, so erhält man eine nicht konstante, gegenüber \(\mathfrak G\) automorphe, beschränkte Funktion \(A(z)\). Wendet man auf sie den \textit{Blaschke}schen Satz (1915; F. d. M. 45, 638 (JFM 45.0638.*)) an, so findet man als notwendige Bedingung dafür, daß\ \(F\) hyperbolisch ist, die Konvergenz von \[ \sum \frac 1{a^2+b^2+c^2+d^2}, \tag{*} \] wo die Summe über alle linearen Substitutionen \(\frac {az+b}{cz+d}\) aus \(\mathfrak {G}\) zu erstrecken ist. Wie man leicht sieht ist dafür, daß\^^M\(F\) hyperbolisch ist, die Existenz einer Funktion \(A(z)\) auch hinreichend, und daraus beweist man, daß\ es auch die Konvergenz von (*) ist.